Заоч. задача 5 НОЦ ВолНЦ РАН (10-11 класс, часть Б)
Суточный спрос на проживание на двух соседних турбазах «Ветерок» и «Мимоза» выражается соответственно функциями $Q_1 = 150 – 0,2p_1 + 0,1p_2$ и $Q_2 = 250 – 0,15p_2 + 0,05p_1$, где $p_1$ и $p_2$ – цены проживания. Определить равновесные цены, если на «Ветерке» размещается 90 человек, а на «Мимозе» – 140. Что произойдет, если «Мимоза» построит дополнительный коттедж на 20 человек? Выгодно ли это базе? При каком количестве мест равновесная цена проживания на «Мимозе» станет ниже, чем на «Ветерке»?
Решение
Приравняем спрос и предложение (составляющее соответственно 90 и 140 человек) для каждой из баз отдыха и решим полученную систему уравнений: $$
\begin{cases} 150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\ 250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = 140 \end{cases}
$$ $\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 275 \Rightarrow p_1^* = 800$ руб., $p_2^* = (0,2*800 + 90 - 150)/0,1 = 1000$ руб. Если «Мимоза» построит дополнительный коттедж на 20 человек, ее предложение составит 160 человек. Решим систему. $$
\begin{cases} 150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\ 250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = 160 \end{cases}
$$ $\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 295 \Rightarrow p_1^* = 720$ руб., $p_2^* = (0,2*720 + 90 - 150)/0,1 = 840$ руб. Суточная выручка «Мимозы при полной загрузке в исходной ситуации составляла $140*1000 = 140$ тыс. руб., а в новой – $160*840 = 134,4$ тыс. руб. Таким образом, произошло сокращение выручки при одновременном росте издержек (новый коттедж нужно построить). Без увеличения спроса базе это не выгодно. Обозначим количество мест на «Мимозе» за $x$. Снова решим систему. $$
\begin{cases} 150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\ 250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = x \end{cases}
$$ $\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 135 + x \Rightarrow p_1^* = 1360 - 4x$ руб., $p_2^* = (0,2*(1360 - 4x) + 90 - 150)/0,1 = 2120 - 8x$ руб. Найдем, при каком значении $x$ выполняется неравенство $p_2^* < p_1^*$: $2120 - 8x < 1360 - 4x$ $x > 190$ Если на «Мимозе» будет больше 190 мест, цена станет ниже, чем на «Ветерке».
\begin{cases} 150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\ 250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = 140 \end{cases}
$$ $\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 275 \Rightarrow p_1^* = 800$ руб., $p_2^* = (0,2*800 + 90 - 150)/0,1 = 1000$ руб. Если «Мимоза» построит дополнительный коттедж на 20 человек, ее предложение составит 160 человек. Решим систему. $$
\begin{cases} 150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\ 250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = 160 \end{cases}
$$ $\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 295 \Rightarrow p_1^* = 720$ руб., $p_2^* = (0,2*720 + 90 - 150)/0,1 = 840$ руб. Суточная выручка «Мимозы при полной загрузке в исходной ситуации составляла $140*1000 = 140$ тыс. руб., а в новой – $160*840 = 134,4$ тыс. руб. Таким образом, произошло сокращение выручки при одновременном росте издержек (новый коттедж нужно построить). Без увеличения спроса базе это не выгодно. Обозначим количество мест на «Мимозе» за $x$. Снова решим систему. $$
\begin{cases} 150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\ 250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = x \end{cases}
$$ $\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 135 + x \Rightarrow p_1^* = 1360 - 4x$ руб., $p_2^* = (0,2*(1360 - 4x) + 90 - 150)/0,1 = 2120 - 8x$ руб. Найдем, при каком значении $x$ выполняется неравенство $p_2^* < p_1^*$: $2120 - 8x < 1360 - 4x$ $x > 190$ Если на «Мимозе» будет больше 190 мест, цена станет ниже, чем на «Ветерке».