Две группы потребителей
На товар Х, производимый фирмой-монополистом, спрос предъявляют 2 группы потребителей, для которых фирма назначает единую цену: $Q_d^1=16-2p$, $Q_d^2=32-2p$. Фирма тратит 6 денежных единиц на каждую произведённую единицу продукции, постоянные издержки равны 0. Найдите оптимальный объём производства для фирмы, цену, по которой она будет реализовывать свою продукцию, а также укажите, сколько групп потребителей будут покупать продукцию фирмы.
Решение
Спрос будет задаваться кусочно-линейной функцией: $$Q=\begin{cases} 48-4p,p \in [0,8] \\ 32-2p,p \in [8,16] \end{cases}$$ (2 балла). Тогда обратное уравнение спроса: $P=\begin{cases} 16-Q/2, Q \in [0,16] \\ 12-Q/4, Q \in [16,48] \end{cases}$ (2 балла). Общие издержки фирмы, согласно условию, задаются уравнением $TC=6Q$ (1 балл). Тогда прибыль фирмы устроена следующим образом: $$\pi=\begin{cases} Q(16-Q/2)-6Q, Q \in [0,16] \\ Q(12-Q/4)-^Q, Q \in [16,48] \end{cases}$$ (1 балл). Максимум функции на отрезке [0,16] достигается в вершине: Q=10 и равняется 50 (2 балла). Максимум функции на отрезке [16,48] достигается на границе отрезка: Q=12, значение не принадлежит выбранному отрезку (2 балла). Таким образом, фирма будет производить 10 единиц по цене 11, а спрос на продукцию фирмы будет предъявлять только вторая группа потребителей. Можно решать задачу, используя обратную функцию спроса. Тогда функция прибыли от цены имеет вид: $$\pi (p)=\begin{cases} (48-4p)(p-6),p \in [0,8] \\ (32-2p)(p-6),p \in [8,16] \end{cases}$$ (5 баллов). Каждый участок функции прибыли ‒ парабола с ветвями вниз, вершина первой параболы в точке p = 8, вершина второй параболы в точке p = 11 (обе координаты принадлежат соответствующим участкам). Поскольку прибыль в точке (8, 32) лежит и на второй части тоже, можно заключить, что p = 11 максимизирует прибыль. Поскольку это участок с высокими ценами, продукцию будут покупать только потребители из второй группы (5 баллов). Ответ: Будет произведено 10 единиц товара по цене 11; только вторая группа потребителей будет покупать у фирмы.