Фирма, самолет, менеджер
Компания «Elppa» собирается нанять топ-менеджера. В собственности фирмы есть небольшой частный самолет, который предназначен для передвижения менеджера по служебным надобностям. Менеджер, однако, может злоупотреблять служебным положением и использовать самолет в личных целях, что создает для компании дополнительные затраты. Если менеджер не согласится работать в фирме «Elppa», ее прибыль будет равна нулю. Если менеджер согласится на работу и не будет пользоваться самолетом компании в личных целях, то ее прибыль (до выплаты зарплаты менеджера) составит 800, если будет — всего лишь 162. Владельцы фирмы не могут наблюдать действия менеджера и не знают, как прибыль зависит от использования самолета, поэтому не могут запретить менеджеру использовать самолет в личных целях. Менеджер, в отличие от владельцев фирмы, знает, как прибыль фирмы зависит от использования самолета. Пусть $w\ge 0$ — зарплата менеджера, а $j$ — переменная, равная 1, если менеджер использует самолет в личных целях, и 0 в противном случае. Менеджер выбирает свои действия так, чтобы значение величины $U=0,1\sqrt{w}+j$ было наибольшим. Обладая редким талантом, менеджер всегда может уйти работать в конкурирующую компанию «Gnusmas». Условия работы у конкурентов соответствуют $U=2$. Считайте, что менеджер благожелателен к фирме «Elppa»: если ему безразлично, на какой фирме работать, то он соглашается на работу в «Elppa»; если ему безразлично, использовать самолет или нет, то он не использует самолет.
Подпункты
а)
Допустим, зарплата менеджера не зависит от прибыли фирмы (и при этом такова, что менеджеру выгодно согласиться работать в фирме). Будет ли он использовать самолет в личных целях?
б)
Допустим, зарплата менеджера равна некой доле $\alpha$ от прибыли фирмы ($0<\alpha<1$). При каком минимальном значении $\alpha$ менеджер согласится работать в фирме и не будет использовать самолет в личных целях? Что выгоднее для фирмы — предлагать менеджеру фиксированную зарплату (как в пункте а)) или найденную вами в этом пункте долю $\alpha$ от прибыли?
в)
Допустим, согласно контракту, зарплата менеджера равна $w_1$, если прибыль фирмы равна 800, и $w_2$, если прибыль фирмы равна 162. Существуют ли произвольные значения $w_1$ и $w_2$ такие, что контракт $(w_1, w_2)$ более выгоден для фирмы, чем контракт, согласно которому менеджеру выплачивается доля от прибыли фирмы, найденная вами в б)?
Решение
а) Какова бы ни была зарплата $w$, $0,1\sqrt{w}+1>0,1\sqrt{w}$, и поэтому менеджер будет использовать самолет. б) Чтобы менеджер, не используя самолет, согласился работать в фирме, должно выполняться условие $0,1\sqrt{800\alpha}\geqslant 2$, откуда $\alpha\geq 1/2$. При этом ему должно быть выгоднее не использовать самолет, чем использовать, то есть также должно выполняться неравенство $0,1\sqrt{800\alpha}\geqslant 0,1\sqrt{162\alpha}+1$. Заметим, что $\alpha=1/2$ удовлетворяет этому неравенству, а значит, именно это число и будет ответом. Если фирма предложит менеджеру половину прибыли, менеджер не будет пользоваться самолетом, и прибыль компании после выплаты зарплаты менеджеру составит 400. Если же фирма будет предлагать фиксированную зарплату, менеджер будет пользоваться самолетом, и потому прибыль фирмы после выплаты зарплаты будет меньше, чем 162. Значит, предлагать долю прибыли выгоднее. в) Если $w_1$ и $w_2$ таковы, что менеджер будет пользоваться самолетом, то прибыль фирмы после выплаты зарплаты составит не больше, чем 162, и потому не может быть больше, чем при выплате половины прибыли. Если же $w_1$ и $w_2$ таковы, что менеджер не будет пользоваться самолетом, должно выполняться неравенство $0,1\sqrt{w_1}\geqslant 2$, откуда $w_1\geq 400$, а значит, прибыль фирмы после выплаты зарплаты менеджеру будет не больше 400. Таким образом, не существует контракта, который был бы выгоднее для фирмы, чем контракт, согласно которому менеджеру выплачивается половина прибыли. (При этом существует много других контрактов, приносящих фирме ту же выгоду: например, $(w_1, w_2)=(400, 0)$.)