Олимпиада – это тоже праздник!
Одна компания, которая производит олимпиады ($x$) и праздники ($y$), наняла на работу Петра. Директор компании не знает, что у Петра получается делать лучше: олимпиады или праздники. Он знает, что с вероятностью $p = 0,5$ Петр может за час произвести $0,5$ единиц $y$, a с вероятностью $1 - p = 0,5$ – $1$ единицу $y$. Также он знает, что с вероятностью $d = 0,5$ Петр может за час произвести $1$ единицу $x$, a с вероятностью $1 - d = 0,5$ – $0,5$ единиц $x$. Всего у Петра $8$ часов. Директор компании выбирает, какое количество часов Петру потратить на производство $x$, а какое – на производство $y$, максимизируя количество комплектов из $1$ $x$ и $m$ $y$, и прописывает эти часы в контракте. Петр тратит ровно это количество часов и отдаёт все $x$ и $y$ директору. При этом его реальные производственные функции: $y = \dfrac{L_y}{2}$, $x = L_x$. Определите, чему равно $m$, если известно, что директор получил на $0,4$ комплекта из $1$ единицы $x$ и $m$ единиц $y$ меньше из-за того, что не знал производственные функции Петра до принятия решения о распределении часов между $L_x$ и $L_y$.
Решение
Для начала немного формализуем условие: при $p = 0,5$: $y = 0,5L_y$ и $x = L_x$; при $1 - p = 0,5$: $y = L_y$ и $x = 0,5L_x$. Тогда можем найти ожидаемые директором производственные функции Петра: $$x_e = 0,5L_x + 0,5 \cdot 0,5L_x = 0,75L_x$$ $$y_e = 0,5L_y + 0,5 \cdot 0,5L_y = 0,75L_y$$ Далее выразим $L_x$ и $L_y$ и подставим в ограничение по количеству часов: $$L_x = \dfrac{4}{3}x, ~~~ L_y = \dfrac{4}{3}y \Rightarrow \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{3}y = 8 \Rightarrow x + y = 6$$ Вспомним, что олимпиады и праздники потребляются в пропорции $1$ к $m$, значит $y = mx$. Получаем систему: $ \begin{cases} x + y = 6;\\ y = mx. \end{cases}$ Решив систему, получаем, что $x = \dfrac{6}{1 + m}, ~~~ y = \dfrac{6m}{1 + m}$, а значит директор пропишет в контракте следующие часы работы: $L_x = \dfrac{8}{1 + m}, ~~~ L_y = \dfrac{8m}{1 + m}$. Работая столько часов, Петр фактически произведет $x = L_x = \dfrac{8}{1 + m}$ и $y = 0,5L_y = \dfrac{4m}{1 + m}$. Теперь найдем, какое количество комплектов получает директор: чтобы было $\dfrac{8}{1 + m}$ комплектов, нужно $x = \dfrac{8}{1 + m}$ и $y = \dfrac{8m}{1 + m}$, но Петр произвел лишь $y = \dfrac{4m}{1 + m}$, поэтому всего у директора оказалось лишь $\dfrac{4}{1 + m}$ комплектов. Если производственные функции были известны директору с единичной вероятностью, то $L_x = x, ~~~ L_y = 2y$. Снова запишем ограничение на количество часов работы $x + 2y = 8$ и решим следующую систему: $ \begin{cases} x + 2y = 8;\\ y = mx. \end{cases}$ Получим, что $x = \dfrac{8}{1 + 2m}$ и $y = \dfrac{8m}{1 + 2m}$, значит директор получает $\dfrac{8}{1 + 2m}$ комплектов. Остается записать разницу в количестве комплектов и приравнять ее к $0,4$. $$\dfrac{8}{1 + 2m} - \dfrac{4}{1 + m} = 0,4$$ $$2m^2 + 3m - 9 = 0$$ $$m = 1,5$$