Солнечная энергия
В стране Альфа в году 100 дней. Солнечная энергия Альфы описывается уравнением $S = a n^2 + b n + c$, где n — номер дня. Ровно в середине года солнечная энергия достигает своего максимума — $100 \hspace{0.5em} \text{Дж}$. Из-за особенностей работы оборудования завод производит либо $\sqrt{88}$ единиц товара, либо вовсе не запускается. На предприятии установлены солнечные панели, которые поставляют часть энергии. Для производства $\sqrt{88}$ единиц товара нужно $100 \hspace{0.5em} \text{Дж}$ энергии. Помимо солнечных панелей предприятие может использовать энергию электростанции, количество которой обозначим как $Z$. Средние издержки фирмы равны $10 \times Z$. Постоянные издержки оплачивает государство. Предприятию выгодно продавать товар по цене 120 рублей 40 дней в году. Найдите $a, b$ и $c$.
Решение
1. Вершина параболы: $n = \frac{-b}{2a}$. Нетрудно найти связь a и b: $$ \frac{-b}{2a}=50 ; b = -100a $$ 2. Найдём связь a и c: $$ S(50) = 2500 \times a - 100a \times 50 + c = 100 \implies c = 100 + 2500a $$ 3. Фирма работает 40 дней — очень важное условие. В вершине параболы, очевидно, производить выгоднее всего. Чем дальше точка от вершины, тем больше издержки. Допустим, после вершины производитель выбирает для производства также день 49. Теперь есть выбор: производить в 48-й день или в 51-й. Выгоднее производить в 51-й. Таким образом, участок года, на котором фирма будет производить товар, расположен по центру параболы. Его длина — 40, значит, Х производит с 30-го дня по 70-й. Следовательно, в этих днях прибыль равна нулю. 4. В двух точках прибыль равна нулю, выразим её уравнение из издержек. $$ TC = AC \times Q = 10ZQ = 10Q(100-S) $$ $$ \Pi = Q \times P - Q \times (1000-10S) = Q \times (P - 1000 + 10S) $$ При производстве $Q \neq 0$, значит, можно разделить обе части на Q: $$ A\Pi = P - 1000 + 10S = 10S - 880 $$ $$ A\Pi(n=30) = 0 \implies 10 \times S(30) - 880 = 0 \implies S(30) = 88 $$ Подставим в формулу солнечной энергии, выразив b и c через a: $$ 900 \times a - 30 \times 100 a + 100 + 2500a = 88$$ $$ 400a = 88 - 100 \implies a = -0.03 $$ $$ b = 3; c = 25 $$ Ответ: a = -0,03; b = 3; c = 25.