Марина-монополист

1. а) (2 балла) Вывод функции спроса на продукцию. По условию, если $Q=0$, то $P=1200$. Выручка по условию максимальна при $Q=6$. В этой точке $E^{D}_{P}=-1$, данное значение эластичности соответствует точке в середине линейной функции спроса, следовательно, при $Q=12$, цена равна нулю. Выводим линейную функцию спроса, проходящую через две точки. Функция спроса имеет вид $P=1200-100Q$ или $Q=12-0.01P$. б) (2 балла) Найдем цену и количество, используя, значение эластичности в точке максимума прибыли. 1-й способ: $E_{P}^{D}=Q^{'}_{P}\frac{P}{Q}$ $-2=-0.01\frac{P}{12-0.01P}$, отсюда $P=800$. Подставляем цену в функцию спроса и находим: $Q=12-0.01\times 800=4$. 2-й способ: Нахождение цены и количества исходя из геометрического смысла эластичности. $\frac{12-Q}{Q}=2$ следовательно, $Q=4$ $\frac{P}{1200-P}=2$ следовательно, $P=800$ 2. а) (2 балла) Пусть цена зонта $Х$ рублей (или любое неизвестное число), тогда переменные затраты в день $VC=X\times Q$, постоянные затраты (по условию задачи) равны 200 $(FC=200)$. $TC=VC+FC=X\times Q+200$. Тогда предельные затраты $MC=TC^{'}(Q)=X$ , или любой константе. б) (2 балла) Чтобы найти функцию общих издержек, нужно найти функцию $МС$. 1-й способ: Найдем функцию предельной выручки, которая имеет угол наклона в 2 раза больше, чем обратная функция спроса из пункта 1а), то есть $MR=1200-200Q$. В точке максимума прибыли, при $Q=4$ и $P=800$, выполняется равенство MR и MC. $$MC+MR=1200-200\times 4=400=X$$ 2-й способ: Запишем индекс Лернера $\frac{P-MC}{P}=\frac{1}{|E_{P}^{D}|}$. Получаем $\frac{800-MC}{800}=1/2$, $МС=400$. Тогда функция общих издержек имеет вид $TC=400Q+200$ в) (2 балла) Найдем прибыль в точке максимума прибыли: $$\pi =TR-TC=P\times Q-TC=4\times 800-(400\times 4+200)=1200$$ Ответ: 1. $P=800, \ Q=4.$ 2. Прибыль 1200 рублей в день.