О целочисленности решения
В олимпиадных задачах часто предполагается, что определенные величины, которые по своей природе могут принимать только целые значения, могут выражаться не только целыми числами. Это делается для упрощения решения. В практических задачах, однако, игнорировать целочисленность зачастую нельзя, так как решение в целых числах может существенно отличаться от решения в действительных числах. Рассмотрим это на следующем примере. Товар $X$ может выпускаться на станках двух типов. Один станок типа $A$ может произвести максимум 100 ед. товара в день, и его аренда стоит 100 денежных единиц в день. Один станок типа $B$ может произвести максимум 80 ед. в товара в день, и его аренда стоит 90 денежных единиц в день. Выпуск фирмы – не обязательно целое число.
Подпункты
а)
Допустим, количество станков не обязательно целое. Сколько станков каждого типа следует арендовать фирме, чтобы произвести $Q$ ед. продукции в день и расходы на аренду были минимальны? Ответьте на вопрос для каждого $Q>0$.
б)
Теперь допустим, что количество станков может быть только целым. Сколько станков каждого типа следует арендовать фирме, чтобы произвести $Q$ ед. продукции в день и расходы на аренду были минимальны при $Q=170$? $Q=240$?
в)
Верно ли, что если в пункте а) оптимальным решением для фирмы является аренда a станков типа $A$, и a нецелое, то при учете целочисленности обоих типов станков оптимальным решением будет аренда $a^*$ станков типа $A$, где $a^*$ — одно из двух целых чисел, ближайших к $a$?
Решение
а) Обозначим количество станков типа А за $a$, а количество станков типа B за $b$. Тогда издержки фирмы равны $100a+90b$, а выпуск равен $100a+80b$. Таким образом, фирма минимизирует значение выражения $100a+90b$, выбирая любые неотрицательные $a$ и $b$, удовлетворяющие условию $100a+80b=Q$. Выражая $100a$ из условия и подставляя в формулу для издержек, получаем, что издержки равны $(Q-80b)+90b=Q+10b$. Эта функция возрастает по $b$, поэтому фирме следует выбрать минимально возможное значение $b$, то есть 0. Следовательно, при любом $Q$ фирме оптимально арендовать 0 станков типа B и $Q/100$ станков типа А . Можно было также заметить (второй способ решения), что при использовании станка типа А расходы на единицу продукции равны 1 ден. ед., а при использовании станка типа B — 9/8 ден. ед., и поэтому оптимальным является использование только станков типа А. б) 170 единиц можно произвести тремя способами: (1) Арендовать 2 станка типа А; (2) арендовать 1 станок типа А и 1 станок типа B; (3) арендовать 3 станка типа B. Издержки для этих трех способов равны 200, 190, и 270 соответственно; следовательно, оптимальным является способ (2). 240 единиц можно произвести четырьмя способами: (1) Арендовать 3 станка типа А; (2) арендовать 2 станка типа А и 1 типа B; (3) арендовать 1 станок типа А и 2 типа Б; (4) арендовать 3 станка типа B. Издержки будут равны 300, 290, 280, и 270 единиц соответственно. Следовательно, оптимальным является способ (4). в) Нет, неверно. Рассмотрим $Q=240$. В пункте (а) оптимальной является аренда 2,4 станков типа А и 0 станков типа B. C учетом же целочисленности в (б) мы получили, что оптимальной является аренда 0 станков типа А и 3 станков типа B, но 0 не является одним из двух целых чисел, ближайших к 2,4. Примечание: для $Q=240$ ответ в условиях целочисленности не только не является одним из ближайших к ответу без ограничения на целочисленность, но и является диаметрально противоположным: если без ограничения на целочисленность нужно арендовать только станки типа А, то с ограниченим — только станки типа B. Данная задача (с ограничением на целочисленность) является частным случаем задачи о рюкзаке(См., например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D... ), с различными вариациями которой можно встретиться в самых разных областях экономики.