Денег нет, но вы держитесь!
В закрытой экономике частное потребление равно $C=50+(2/3)Y_d$ млрд р., где $Y_d$ — располагаемый доход. Инвестиции постоянны и равны $50$ млрд р. Доходы государственного бюджета состоят только из поступлений от подоходного налога, взимаемого с населения по ставке $t$ за каждый заработанный рубль. Расходы бюджета — государственные закупки, определяемые правительством. В 2016 году из-за кризиса бюджет страны имел дефицит, поэтому председатель правительства сделал заявление о бюджете на следующий год: «Денег нет, но вы держитесь! В 2017 году наш бюджет будет сбалансирован. Чтобы достичь баланса, мы либо поднимем ставку подоходного налога в 2,5 раза, либо урежем госзакупки втрое. Всего доброго, хорошего настроения и здоровья!»
Подпункты
а)
(10 баллов) Какую меру из предложенных двух должно выбрать правительство, если оно хочет, чтобы сокращение реального ВВП в 2017 году было меньше?
б)
(20 баллов) На какую величину в результате сократится реальный ВВП?
Решение
а) Способ 1. Пусть $t$ –– ставка налога в 2016 году, $G$ –– объем госзакупок, а $Y_1$ и $Y_2$ –– значения ВВП при выборе первой и второй меры соответственно. Для сбалансированности бюджета в 2017 году нужно, чтобы доходы бюджета были равны расходам. В первом варианте это будет означать $2,5t \cdot Y_1 = G$, а во втором – $t \cdot Y_2 = G/3$. Отсюда получаем $$Y_1 = \frac{G}{2,5t}, Y_2 = \frac{G}{3t}$$ Отсюда ясно, что первая мера снижает ВВП не так сильно, как вторая. Способ 2. Можно найти изменения ВВП при применении обеих мер непосредственно, а затем сравнить их. В первом случае новый ВВП должен получиться равным $400$, а во втором – равным $1000/3$ (решение приведено в пункте 2). Таким образом, участник может просто решить пункт 2, а вы- воды пункта 1 будут следовать из него автоматически. б) Обозначим за $Y_0$ объем ВВП в 2016 году. Тогда выполнена система уравнений $$
\begin{equation} Y_0 = 50 + \frac{2}{3}(Y_0 − tY_0) + 50 + G \\ Y_1 = 50 + \frac{2}{3}(Y_1 − 2,5tY_1) + 50 + G \\ Y_2 = 50 + \frac{2}{3}(Y_2 − tY_2) + 50 + G/3 \\ 2,5t \cdot Y_1 = G \\ t \cdot Y_2 = G/3. \end{equation}
$$ Первые три уравнения представляют собой формулу ВВП по расходам ($Y = C + I + G + X_n)$, записанную для 2016 года и для двух вариантов развития событий в 2017 году. Остальные два уравнения являются условиями сбалансированности бюджета для двух рассматриваемых политик. Решать эту систему можно, например, так 1) Подставляя $2,5tY_1$ из четвертого уравнения во второе, получаем $Y_1 = 50 + \frac{2}{3}(Y_1 − G) + 50 + G$, откуда $Y_1 = 300 + G$. Подставляя $tY_2$ из пятого уравнения в третье, получаем, что $Y_2 = 50 + \frac{2}{3}(Y_2 − G/3) + 50 + G/3$, откуда $Y_2 = 300 + G/3$. 2) Деля четвертое уравнение на пятое (это можно делать,поскольку налог и госзакупки по условию существуют), получаем $Y_1/Y_2 = 6/5$, и значит, $5(300 + G) = 6(300 + G/3)$, откуда $G = 100$. Значит, $Y_1 = 400$. Из четвертого уравнения получаем, что $t = 10 %$. 3) Наконец, найдем ВВП в 2016 году из первого уравнения. Подставляя найденные значения ставки налога и госзакупок, получаем, что $$Y_0 = 50 + \frac{2}{3} \cdot 0,9Y_0 + 50 + 100$$ откуда $Y_0 = 200/0,4 = 200 \cdot 2,5 = 500$. Значит, сокращение ВВП при повышении ставки налога составит $Y_0 − Y_1 = 500 − 400 = 100$.
\begin{equation} Y_0 = 50 + \frac{2}{3}(Y_0 − tY_0) + 50 + G \\ Y_1 = 50 + \frac{2}{3}(Y_1 − 2,5tY_1) + 50 + G \\ Y_2 = 50 + \frac{2}{3}(Y_2 − tY_2) + 50 + G/3 \\ 2,5t \cdot Y_1 = G \\ t \cdot Y_2 = G/3. \end{equation}
$$ Первые три уравнения представляют собой формулу ВВП по расходам ($Y = C + I + G + X_n)$, записанную для 2016 года и для двух вариантов развития событий в 2017 году. Остальные два уравнения являются условиями сбалансированности бюджета для двух рассматриваемых политик. Решать эту систему можно, например, так 1) Подставляя $2,5tY_1$ из четвертого уравнения во второе, получаем $Y_1 = 50 + \frac{2}{3}(Y_1 − G) + 50 + G$, откуда $Y_1 = 300 + G$. Подставляя $tY_2$ из пятого уравнения в третье, получаем, что $Y_2 = 50 + \frac{2}{3}(Y_2 − G/3) + 50 + G/3$, откуда $Y_2 = 300 + G/3$. 2) Деля четвертое уравнение на пятое (это можно делать,поскольку налог и госзакупки по условию существуют), получаем $Y_1/Y_2 = 6/5$, и значит, $5(300 + G) = 6(300 + G/3)$, откуда $G = 100$. Значит, $Y_1 = 400$. Из четвертого уравнения получаем, что $t = 10 %$. 3) Наконец, найдем ВВП в 2016 году из первого уравнения. Подставляя найденные значения ставки налога и госзакупок, получаем, что $$Y_0 = 50 + \frac{2}{3} \cdot 0,9Y_0 + 50 + 100$$ откуда $Y_0 = 200/0,4 = 200 \cdot 2,5 = 500$. Значит, сокращение ВВП при повышении ставки налога составит $Y_0 − Y_1 = 500 − 400 = 100$.