"Сигма" и лицензия
Фирма «Сигма» производит некоторый товар и продает его на рынке совершенной конкуренции. Общие издержки производства товара имеют вид : $TC=\dfrac{q^2}{200}+8$, где $TC$ - общие издержки фирмы (д.е.), $q$ – объём выпуска фирмы (тонны). Кроме того, фирма должна платить за лицензию, лицензионный платеж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её оптимальный выпуск будет положительным.
Решение
У фирмы есть возможность выбрать нулевой выпуск или положительный. В первом случае она получит прибыль равную $PR(0)=-8$ (1 балл) Во втором случае её прибыль составит: $PR=P\cdot Q-\dfrac{q^2}{200}-8-50$ (1 балл) Относительно объёма выпуска это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, вершина этой параболы будет соответствовать максимальной прибыли. Найдем её: $Q^*=100P$. Прибыль при данном объёме выпуска составит: $$\begin{array}{l} PR(Q^*)=P\cdot 100P-\dfrac{(100P)^2}{200}-8-50 \\ PR(Q^*)=50P^2-8-50 & \textbf{ (2 балла)}\end{array}$$ Ясно, что фирма согласится выбирать положительный объём выпуска только в том случае, если прибыль от этого варианта не меньше, чем от нулевого. Иными словами, только в том случае, если: $PR(Q^*) \geq PR(0)$ (3 балла за идею сравнения прибылей) $$\begin{array}{l} 50P^2-8-50 \geq -8 \\ P \geq 1 & \textbf{ (3 балла)}\end{array}$$ Ответ: 1 д.е. Примечание: Этот результат можно получить другим путём. Можно находить граничную цену, используя тот факт, что она равна минимуму средних переменных издержек. В этом случае важно определить переменные издержки, включив в них лицензионный платёж (строго говоря, в такой ситуации экономисты называют лицензионный платёж квазипостоянными издержками, и их надо учитывать именно по той причине, что при нулевом выпуске они равны нулю): $$AVC=\frac{\dfrac{Q^2}{200}+50}{Q} \text{, } Q \gt 0$$ Тогда минимальное значение также получится равным 1. При этом решении участники олимпиады, корректно выписавшие минимизируемую функцию, должны получать 5 баллов. А те, кто нашёл минимальное значение этой функции и указал, что оно и является ответом, должны получать полный балл.