Дороги и ...
В королевстве Озерном есть пять городов: A, B, C, D, E. Они расположены в указанной последовательности вокруг большого озера. Расстояние от города А до города B составляет 4 км, от В до С — 13 км, от С до D — 6 км, от D до E — 12 км, наконец, от E до A — 11 км. Дорога вокруг озера, которая соединяет города, находится в ужасном состоянии. Парламент Озерного королевства хотел бы, чтобы была построена новая асфальтовая дорога. Для этого он нанимает строительную компанию «Дорстрой». Парламент расположен в городе А (столице) и готов выплатить «Дорстрою» $P$ золотых монет за каждый город, из которого можно будет доехать до столицы по асфальтовой дороге (величина $P$ одинакова для каждого города, независимо от расстояния между ним и столицей). Строительство каждого километра дороги обходится «Дорстрою» в 100 золотых монет, и руководство этой фирмы стремится максимизировать свою прибыль.
Подпункты
а)
Для каждого значения $P$ укажите, какие города будут соединены со столицей асфальтовой дорогой. (Для тех случаев, когда «Дорстрою» одинаково выгодны несколько вариантов длины дороги, считайте, что «Дорстрой» всегда выбирает самый длинный.)
б)
Для каждого значения $P$ укажите максимальную прибыль фирмы «Дорстрой».
Решение
Построим функцию издержек фирмы «Дорстрой». Ясно, что если «Дорстрой» решит соединить со столицей только один город, то это будет город $B$, так как до него от столицы ближе всего. Если же фирма решит присоединить к столице два города, то это буду города $B$ и $E$, так как в этом случае длина дороги составит $11+4=15$ километров. Во всех других случаях требуемая длина дороги будет больше: если соединять со столицей города $B$ и $C$, то придется построить $4+13=17$ километров дороги; а если города $E$ и $D$, то и того больше $(11+12=33).$ Аналогично, легко проверить, что если «Дорстрой» примет решение соединить со столицей три города, то это будут города $B$, $C$, $D$. И длина дороги составит $4+13+6=23$ километра. Наконец, если соединять со столицей все четыре города, то следует протянуть дорогу $C$-$D$-$E$-$A$-$B$, и в этом случае ее длина будет равна $6+12+11+4=33$ километра. Занесем эти данные в таблицу: $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{Городов} & \text{Список} & \text{Длина} & TC & MC \\ \hline 1 & \text{A-B} & 4 & 400 & 400 \\ 2 & \text{E-A-B} & 15 & 1500 & 1100 \\ 3 & \text{A-B-C-D} & 23 & 2300 & 800 \\ 4 & \text{C-D-E-A-B} & 33 & 3300 & 1000 \\ \hline\end{array}$$ Фирма «Дорстрой» является ценополучателем, поэтому для нее определена функция предложения. Определив предельные издержки «Дорстроя» мы можем любым из стандартных способов определить его функцию предложения: $p\in [0,400]$ $q=0$: ни один город не соединен со столицей асфальтовой дорогой. $p\in [400,950]$ $q=1:$ город B соединен асфальтовой дорогой со столицей. $p\in [950,1000]$ $q=3$: города $B$,$ C$,$ D$ соединены асфальтовой дорогой со столицей. $p>1000$ $q=4$: все города соединены дорогой со столицей Наконец, зная функцию предложения, мы можем определить максимальную прибыль фирмы. $p\in [0,400]$ Прибыль$\text{ } =0$ $p\in [400,950]$ Прибыль$\text{ } =P-400$ $p\in [950,1000]$ Прибыль$\text{ }=3P-2300$ $p>1000$ Прибыль$\text{ }=4P-3300$