Задача 2 ОЧ-2018 11 класс
Кривая производственных возможностей страны $A$ задана соотношением: $x+2y=60$. КПВ страны $B$: $2x+y=40$. Пусть страны решают торговать друг с другом в пропорции 1:1.
Подпункты
а)
Определите, является ли данная пропорция обмена взаимовыгодной?
б)
Задайте аналитически кривые торговых возможностей обеих стран. Оказалось, что страна А может «купить» технологический прогресс при производстве товара $x$. За производство технологического прогресса отвечают нейтральные ученые, не живущие в стране А, которые кроме новых технологий ничего производить не могут. КПВ страны А с учетом «купленного» прогресса имеет вид $ax+2y=60,a\in (0,1).$
в)
Задайте аналитически в зависимости от значений параметра a кривые торговых возможностей стран $A$ и $B$. Предпочтения жителей страны $B$ устроены так, что они любят потреблять только товар $x$. Обратим свое внимание отдельно на страну $A$. Набор товаров $(x,y)$, который после обмена со страной $B$ находится в распоряжении у страны $A$, хочет купить страна С, не желающая вести дела со страной $B$. Страна $C$ платит стране $A$ 2 у.е. за одну единицу товара $x$ и 3 у.е. за одну единицу товара $y$. Соответственно, выручка страны $A$ имеет вид $u(x,y)=2x+3y.$ Нейтральные ученые работают не бесплатно при производстве технологического прогресса. Суммарная стоимость их работы, которую полностью оплачивают жители страны $A$, если производится прогресс на уровне $a$, равна: $$\displaystyle \frac{125}{a} +20a - 145 ~~ y.e.$$
г)
Какой уровень прогресса выберут жители страны А, если их цель – максимизация дохода?
Решение
(а) Взаимовыгодный обмен находится в границах: $0.5y\leq1*x\leq2y.$ Следовательно, предлагаемая пропорция 1:1 является выгодной, причем страна $A$ будет специализироваться на производстве товара $x$, а страна $B$ - на производстве товара $y$. (б) При осуществлении торговли страна $A$ произведет 60 единиц товара $x$, однако обменять сможет только 40, так как страна $B$ производит максимум 40 единиц товара $y$. Таким образом, КТВ страны $B$ задается соотношением $y=40-x$. КТВ страны $A$ описывается ломаной линией в связи с ограничениями на обмен: $$\displaystyle y= \begin{cases} 50-\displaystyle\frac{x}{2}, x \in [0,20]\\ 60-x, x \in [20,60] \end{cases} $$ (в) В условиях технологического прогресса в стране $A$ будут только расти производственные возможности для товара $x$, а обменивать страна $A$ сможет все равно только 40 единиц, из-за ограничений по производству товара y страной $B$. Таким образом, КТВ страны $B$ не изменится, а КТВ страны $A$ будет иметь вид: $$\displaystyle y= \displaystyle \begin{cases} 70-20a- \displaystyle\frac{ax}{2}, x \in [0,\displaystyle\frac{60}{a}-40]\\~\\ \displaystyle\frac{60}{a}-x, x \in [\displaystyle\frac{60}{a}-40,\displaystyle\frac{60}{a}] \end{cases} $$ (г) Отметим для начала, что жители страны $B$ в силу своих предпочтений будут согласны на любое предложение относительно обмена, так как это обеспечивает им большее количество товара $x$. Максимум выручки страны $A$ при любом значении параметра a будет достигаться в точке излома КТВ. Ее координаты $(\displaystyle\frac{60}{a}-40,40)$. Отметим также, что функция издержек по производству прогресса соответствует здравому смыслу. Она возрастает при увеличении прогресса, то есть при изменении a от 1 до 0. Кроме того, она стремится к бесконечности при максимально возможном уровне прогресса, то есть при $a\rightarrow0$, что отражает то, что слишком дорого бесконечно вкладываться в прогресс. Теперь найдем оптимальный уровень прогресса: $ u(a)=2(\displaystyle\frac{60}{a}-40)+3*40- \frac{125}{a}-20a+145 = \displaystyle\frac{120}{a}+40- \frac{125}{a}-20a+145 = 185-\frac{5}{a}-20a $ Максимум этой функции достигается при $a=0,5$. Суммарная выручка при этом равна 165.
Похожие задачи
В некоторой стране технологии производства двух товаров задаются как $x=(1+0
Кривая производственных возможностей страны А имеет вид: $Y = 10 - \frac{X^2}{10
КПВ двух стран при разных режимах взаимодействия
В стране X производятся товары Y и Z. Изначаль-
Уравнение КПВ при постоянной альтернативной стоимости