Всемирная Олимпиада
В некоторой маленькой стране есть месторождения золота ($Au$), серебра ($Ag$) и меди ($Cu$), однако распределены они по территории страны неравномерно. В стране есть три области; в первой области есть только месторождения золота и серебра, во второй — только месторождения серебра и меди, в третьей — только месторождения золота и меди. Кривые производственных возможностей областей описываются уравнениями: $$\begin{aligned} \text{Первая область: } & 2Au_1+Ag_1=140;\\ \text{Вторая область: } & 2Ag_2+Cu_2=140;\\ \text{Третья область: } & 2Au_3+Cu_3=140. \end{aligned}$$ (За $Au_i$, $Ag_i$ и $Cu_i$ обозначены объёмы добычи металлов в области номер $i$.) С приближением XVII Всемирной Олимпиады растёт спрос на все три металла (золото и серебро нужны непосредственно, а медь является составной частью бронзы).
Подпункты
а)
Допустим, согласно подписанным ранее международным договорённостям, страна должна поставить оргкомитету Олимпиады 80 единиц золота и 80 единиц меди. Какое максимальное количество серебра может быть произведено в стране в этих условиях?
б)
Допустим, оргкомитету нужно поставить все три металла в естественной пропорции $1:1:1$. Какие максимальные количества металлов сможет поставить страна при соблюдении этой пропорции?
Решение
Нам нужно решить, как «раскидать» производство золота и меди между областями, чтобы серебра можно было произвести как можно больше. Применим концепцию альтернативных издержек для того, чтобы «нащупать» правильное распределение ресурсов, а затем обоснуем это распределение строго. Альтернативные издержки добычи одной единицы золота в первой области равны 2 единицам серебра, а в третьей области — 2 единицам меди. В таком виде сравнить эти альтернативные издержки нельзя, так как они выражены в единицах разных металлов. Однако заметим, что медь можно «обменивать» на серебро во второй области, с альтернативными издержками 2 единицы меди за одну единицу серебра. Значит, (с некоторой натяжкой) можно сказать, альтернативные издержки добычи одной единицы золота в третьей области, выраженные в единицах серебра , равны 1 (так как в третьей области единица золота «стоит» две единицы меди, а во второй области эти две единицы меди «стоят» 1 единицу серебра). В итоге, в первой области золото «стоит» 2 единицы серебра, а в третьей (опосредованно, через медь) — 1 единицу серебра. Значит, следует настолько, насколько это возможно увеличивать производство золота в третьей области: при оптимальном распределении ресурсов $Au_3=70$ и $Au_1=10$. Теперь строго докажем, что эта догадка верна. Предположим, что $Au_3<70$ (а $Au_1>10$). Покажем, что в такой ситуации мы можем увеличить количество серебра, не уменьшая количества золота и меди, то есть такое распределение не оптимально. Перекинем некоторое маленькое количество золота $\epsilon>0$ с первой области на третью (мы можем так сделать в силу того, что $Au_3<70$ и того, что $Au_1>10>0$). Благодаря этому мы сможем увеличить производство серебра в первой области на $2\epsilon$. Чем мы при этом пожертвуем? Ради этого нам придется уменьшить количество меди в третьей области на $2\epsilon$. Эту медь можно компенсировать с помощью второй области, увеличив там ее производство на те же $2\epsilon$ (заметим, что мы всегда сможем это сделать, так как меди нам нужно всего 80, а максимальное производство меди во второй области равно 140). При этом нам придется пожертвовать во второй области $\epsilon$ единицами серебра. Заметим, однако, что в результате всех этих манипуляций (1) количество золота на изменилось; (2) количество меди не изменилось и (3) количество серебра увеличилось на $2\epsilon - \epsilon = \epsilon > 0$ . Значит, изначальное распределение ресурсов не было оптимальным, и значит, при $Au_3=70$ оптимальном распределении ресурсов должно быть выполнено , что и требовалось доказать . Теперь найти максимальную добычу серебра легко. $Au_3=70 \rightarrow Au_1=10 \rightarrow Ag_1=120.$ $Cu_3=0 \rightarrow Cu_2=80 \rightarrow Ag_2=30$. Итого, $Ag=Ag_1+Ag_2=150$ (б) Обозначим за x искомый объем производства каждого из металлов. Ясно, что производство должно быть эффективным (точка (x,x,x) должна лежать на трехмерной КПВ страны), и потому, в силу рассуждений и пункта (а), в третьей области нужно будет производить только золото (максимальный , очевидно, больше 70, и потому приведенное в решении 1 доказательство того факта, что $Au_3=70$, «работает»). Используя это, получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными: $\begin{cases} 2(x-70)+Ag_1=140 \\ 2Ag_2+x=140 \\ Ag_1+Ag_2=x \end{cases}$ Решая ее, находим x=100. ($Ag_1=80, Ag_2=20$).