Зайцы и общественное благо
Жили-были n зайцев. Узнали они как-то о существовании хорошего учебника по экономике и решили попросить знакомого деда Мазая, чтобы он купил учебник и прочитал его вслух (сами они читать не умеют, но слушают очень чутко, благо уши длинные). Учебник продаётся в лесном магазине за $C$ рублей. i-й заяц получает от учебника полезность, эквивалентную $u_i$ рублям. Известно, что любое $u_i>0$. Дед Мазай был бы рад купить учебник, пусть даже за свой счёт, но только в том случае, если это будет общественно эффективным, то есть $\sum\limits_{i=1}^n u_i>C$. Проблема в том, что $u_i$ – частная информация i-го зайца (все остальные зайцы и дед Мазай знают лишь то, что $u_i>0$). Если просто спросить "Чему равно твоё $u_i$?", то все назовут не настоящее своё $u_i$, а какое-нибудь несусветно большое число (обозначим то, что они называют, $v_i$) – чтобы сделать побольше вероятность того, что $\sum\limits_{i=1}^n v_i>C$, и учебник, таким образом, будет куплен; всё равно ведь платит дед. Если же, к примеру, объявить, что затраты на покупку учебника будут разделены пропорционально названным $v_i$, то у каждого зайца будет стимул занизить свою полезность, чтобы заплатить поменьше, так что в итоге сумма названных полезностей $\sum\limits_{i=1}^n v_i$ может оказаться меньше $C$ (и учебник, таким образом, не будет куплен), даже если сумма истинных полезностей $\sum\limits_{i=1}^n u_i$ больше $C$. Дед Мазай придумал следующий механизм, который, как ему кажется, заставит каждого зайца сообщить свою истинную полезность. Каждый заяц называет $v_i$ (он может назвать любое число больше 0); учебник покупается, если $\sum\limits_{i=1}^n v_i>C$. Назовём i-го зайца решающим, если исключение его из рассмотрения приводит к тому, что меняется решение о покупке учебника. Так вот, каждый решающий заяц i платит деду $P_i=C-\sum\limits_{j\neq i} v_j$, где $\sum\limits_{j\neq i} v_j$ – сумма по всем зайцам (не только решающим), кроме i-го. Не решающие зайцы ничего не платят.
Подпункты
а)
Всегда ли существует хоть один решающий заяц?
б)
Могут ли все зайцы быть решающими?
в)
Верно ли, что для любого решающего зайца $0\le P_i\le v_i$?
г)
Прав ли дед в том, что любой заяц назовёт $v_i=u_i$?
д)
Может ли быть так, что собранных денег не хватит, чтобы купить учебник?
е)
Может ли быть так, что собранных денег будет больше, чем стоимость учебника?
Решение
Ответы: а. нет б. да в. да г. да д. да е. нет Решение пункта г) Рассмотрим i-го зайца и будем рассуждать от его лица. Будем в качестве исходной ситуации рассматривать $v_i=u_i$ и смотреть, что будет, если завысить или занизить $v_i$. Обозначим $T=\sum\limits_{i=1}^n v_i$ (от слова total), $R=\sum\limits_{j\neq i} v_j$ (от слова rest), $U_i$ — моя итоговая полезность. $U_i=u_i\cdot I(\text{учебник покупается}) -P_i\cdot I(\text{я решающий})$ Разделим все случаи на две группы: в исходной ситуации я решающий или нет. 1) В исходной ситуации я не решающий. Это возможно в двух случаях: $T\le C$ или $R>C$ 1а) $T\le C$ В этом случае исходное $U_i=0$. Если занизить, ничего не изменится. Если завысить так, что по-прежнему будет $T\le C$, то ничего не изменится. Если завысить так, что я стану решающим, то буду платить C-R, тогда $U_i=T-R-(C-R)\le 0$, т.е. полезность или упадёт (в случае $T < C$), или не изменится (в случае T=C). 1б) R>C При любом $v_i$ учебник покупается, я плачу ноль. Т.е. завышение или занижение ничего не изменит. 2) В исходной ситуации я решающий. Т.е. $R\le C< T$ Тогда $U_i=T-R-(C-R)=T-C>0$ Если завысить, ничего не изменится. Если занизить чуть-чуть, ничего не изменится. Если занизить так, что учебник перестанет покупаться, то получу $U_i=0$ — т.е. станет хуже. Таким образом, ни в одном из возможных случаев заяц не смог бы повысить свою полезность, отклонившись от стратегии "говорить правду", и в некоторых услучаях такое отклонение может привести к снижению полезности; при этом заяц, когда принимает решение, не знает, в каком из случаев он окажется (т.к. это зависит от $v_j$ остальных зайцев, которые ненаблюдаемы). Поэтому при любых разумных предположениях о том, как устроены предпочтения зайца с учётом неопределённости, в этих условиях для него будет оптимально выбрать стратегию "говорить правду".