Спрос и предложение

Задачу можно решить двумя способами – аналитически и геометрически. Геометрический способ короче, однако мы приведём здесь оба. Способ 1 - аналитический Спрос задаётся линейной функцией: $Q^d(p)=a-b\cdot p$, где $Q^d$ – величина спроса, $р$ – цена,$ a>0$ и $ b>0$ – некоторые параметры функции спроса. Предложение задаётся линейной функцией: $Q^s(p)=c+d\cdot p$, где $Q^s$ – величина предложения, $р$ – цена, $c \text{ и } d>0$ – некоторые параметры функции предложения. Ситуация дефицита возникает, если при заданной цене $Q^d > Q^s$. Так как при цене $р=67$ $Q>0$, то величина дефицита вычисляется по формуле: $$Deficit(p)= Q^d(p) - Q^s(p)=a-b\cdot p-c-d\cdot p=(a-c)-(b+d)\cdot p$$ И при $р=67$: $$Deficit(67)= Q^d(67) - Q^s(67)=a-b*\cdot 67-c-d \cdot 67=(a-c)-(b+d)\cdot 67=33 \textbf{ (1 балл)}$$ Ситуация излишка возникает, если при заданной цене $Q^s> Q^d$. Так как при цене $р=107$ $Q>0$, то величина излишка вычисляется по формуле: $$Surplus(p)= Q^s(p) – Q^d(p)=c+d\cdot p-a+b\cdot p=-(a-c)+(b+d)\cdot p$$ И при $р=107$: $$Surplus(107)= Q^s(107) – Q^d(107)=c+d\cdot 67-a+b\cdot 67=-(a-c)+(b+d) \cdot 107=11 \textbf{ (1 балл)}$$ Произведём замену переменных: $(a-c)=x, (b+d)=y $ Тогда получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$\begin{cases} x-67y=33 \\ -x+107y=11\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y=1,1 \\ x=106,7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b+d=1,1 \\ a-c=106,7\end{cases} \textbf{ (4 балла)}$$ При равновесной цене $(p^e)$ $Q^d=Q^s$, поэтому нет ни излишка, ни дефицита. Таким образом, в точке $p^e$ значения этих функций равны нулю: $106,7 – 1,1\cdot p^e=0$ (1 балл) $p^e=\dfrac{106,7}{1,1}=97$ (3 балла) Способ 2 - геометрический При решении данным способом обязательно наличие графика. В данном случае отрезок AB отображает величину дефицита при цене 67 и его длина равна 33. Отрезок DE отображает величину излишка при цене 107, и его длина равна 11 (график, на котором указаны все нужные параметры, оценивался в 4 балла). Треугольники ABC и DEC являются подобными. (1 балл) Это означает, что коэффициент подобия треугольников равен соотношению подобных сторон, а именно: $k=\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{33}{11}=3$ (1 балл) Это означает, что высоты CM и CN данных треугольников соотносятся также как 3:1. Длина отрезка MN равна $107–67=40$. Обозначим длину отрезка CN за $z$. Тогда получаем следующее уравнение: $$\begin{array}{l}3z+z=40 \\ z=10 & \textbf{(1 балл)} \end{array}$$ Получаем, что равновесная цена равна $107-10=97$ рублей. (3 балла) Ответ: 97 рублей