Учитель и ученики
Рассмотрим модель взаимодействия учителя и учеников в обычном классе средней общеобразовательной школы. Для учеников пусть существуют следующие характеристики: усилия $e_s$ и результаты $r_s=e_s-\frac{e_s^2}{e_t}$ (успеваемость); для учителя: зарплата $w$, усилия $e_t$ и полезность $U_t=w\cdot r_s-e_t^2$. Зарплата является экзогенной величиной, которую устанавливает администрация школы. Каждый из агентов выбирает свой уровень усилий, максимизируя при этом либо результат (ученики), либо полезность (учитель). Порядок действий следующий: администрацией назначается некий уровень зарплаты для учителя; учитель выбирает уровень усилий; ученики выбирают уровень усилий. Учитель и ученики знакомы давно, а потому знают, какую целевую функцию максимизирует каждый из них.
Подпункты
а)
Найдите равновесные уровни усилий для учителя и учеников.
б)
Пусть теперь администрация выбирает уровень зарплаты учителя, исходя из максимизации собственной полезности $U_a=r_s+U_t-w^2/32$ . Чему равны равновесные уровни зарплаты и усилий?
в)
Вернемся снова к первому пункту. Пусть теперь учителя вообще не интересуют результаты учеников: $U_t=w/64-e_t^2$, однако, если учитель будет прикладывать усилия меньше чем 1/16, то его уволят, и он не будет получать зарплату. Найдите равновесные уровни усилий и результаты учеников в данном случае. Определите, при каком уровне зарплаты учителю все равно, учитывать или нет результаты учеников.
Решение
(а) Согласно заданному порядку действий верна обратная индукция: сначала ученики определяют оптимальный уровень своих усилий, максимизируя свои результаты при заданном уровне усилий учителя: $$r_{s}=e_{s}-\dfrac{e_{s}^{2}}{e_{t}}\to max$$ Функция результатов является квадратной с ветвями вниз относительно усилий учеников, следовательно, ее максимум находится в вершине: $$\begin{gathered}e_{s}=\frac{e_{t}}{2}\\ r_{s}=\dfrac{e_{t}}{4}\end{gathered}$$ Теперь учитель максимизирует свою полезность, зная уровень усилий учеников и при заданной экзогенно зарплате: $$U_{t}=w\cdot r_{s}-e_{t}^{2}=U_{t}=w\cdot \dfrac{e_{t}}{4}-e_{t}^{2} \to max$$ Функция полезности учителя является квадратной с ветвями вниз относительно усилий учителя, следовательно, ее максимум находится в вершине: $$\begin{gathered}e_{t}=w/8 \\ \text{Тогда } e_{s}=\dfrac{e_{t}}{2}=\dfrac{w}{16}; r_{s}=\dfrac{e_{t}}{4}=\dfrac{w}{32}; U_{t}=\dfrac{w^{2}}{64} \end{gathered}$$ (б) Поскольку учитель считает уровень зарплаты заданным, то новое условие – последний шаг в обратной индукции: теперь администрация максимизирует свою полезность, зная, какие уровни усилий будут выбирать учитель и ученики: $$U_{a}=r_{s}+U_{t}-\dfrac{w^{2}}{32}=\dfrac{w}{32}+\dfrac{w^{2}}{64}-\dfrac{w^{2}}{32}=\dfrac{w}{32}-\dfrac{w^{2}}{64} \to max$$ Функция полезности администрации является параболой с ветвями вниз относительно зарплаты, следовательно, ее максимум находится в вершине: $$\begin{gathered}w=1\\ \text{Тогда } e_{t}=w/8=\dfrac{1}{8}; e_{s}=\dfrac{e_{t}}{2}=\dfrac{w}{16}=\dfrac{1}{16}\end{gathered}$$ (в) Так как учитель не хочет быть уволенным и не получать зарплату (его полезность тогда будет равна 0), то он будет прикладывать усилия больше либо равные 1/16. Так как в функции полезности его усилия входят в виде $(-e^{2}_{t})$, то ему нет смысла выбирать уровень усилий больший 1/16. Следовательно, учитель будет выбирать $e_{t}=\dfrac{1}{16}.$ Тогда $e_{s}=\dfrac{1}{32}.$ Максимум полезности в этом случае равен $U_{t}=\dfrac{w}{64}-\dfrac{1}{256}$. Найдем, при каком уровне зарплаты учителю будет все равно: $$\begin{gathered}\dfrac{w}{64}-\dfrac{1}{256}=\dfrac{w^{2}}{64}\\ w=\dfrac{1}{2}\end{gathered}$$