Котлетки из мясного фарша
Фермер Иванов еженедельно поставляет в цех по переработке мяса 1200 кг говядины и 1400 кг свинины без костей. Это мясо там перемалывают и предлагают на продажу в виде готового фарша, при этом фарш весит столько же, сколько потраченные на его производство ингредиенты. В настоящее время цех выпускает фарш двух видов: фарш «Домашний», в котором содержится 30% говядины и 70% свинины и фарш «Фермерский», в котором содержится 80% говядины и 20% свинины. Ресторан «Советский» еженедельно закупает два этих вида фарша. По специальному рецепту повара их смешивают таким образом, чтобы содержание говядины и свинины оказалось равным, и готовят фирменные котлетки. Эти котлетки пользуются огромным спросом у завсегдатаев и всегда все раскупаются. Вес одной котлетки 100 грамм, а мяса в ней ровно 80%.
Подпункты
1)
Постройте кривую производственных возможностей цеха по переработке мяса и объясните ее построение.
2)
Определите, сколько фарша каждого вида еженедельно закупает ресторан.
3)
Рассчитайте, сколько фирменных котлеток продает ресторан в неделю.
Решение
1) При построении КПВ цеха по переработке мяса следует учитывать два ограничения: ограничение на говядину и свинину. Введем обозначения для переменных. Пусть Х – это количество (в кг) изготавливаемого фарша «Домашний», а Y – это количество (в кг) изготавливаемого фарша «Фермерский». Тогда ограничение по говядине будет выглядеть следующим образом: 0,3Х+0,8Y≤1200, а ограничение по свинине будет выглядеть так: 0,7Х+0,2Y≤1400. Множество производственных возможностей по производству фарша ограничено осями координат и указанными ограничениями по говядине и свинине. $$\begin{cases} 0,3X+0,8Y=1200 \\ 0,7X+0,2Y=1400 \end{cases}$$ Получаем, что Х=1760 кг Y=840 кг. Легко можно вывести функцию, описывающую КПВ: $$Y=\begin{cases} 1500-0,375X, \text{ при } 0\leqslant X\leqslant 1760\\ 7000-3,5X, \text{ при } 1760\leqslant X\leqslant 2000 \end{cases}$$ График КПВ будет выглядеть следующим образом. 2) Пропорцию, которая определяет, сколько и какого фарша следует покупать ресторану, находим из уравнения по содержанию говядины в фаршах: $0,3X+0,8Y=0,5(X+Y)$ или из уравнения по содержанию свинины в фаршах: $0,7X+0,2Y=0,5(X+Y)$ Получаем, что $Y=\frac{2}{3}X$ или $X=1,5Y$ Так как ресторан заинтересован в изготовлении наибольшего количества котлеток, то он будет закупать фарш в указанной пропорции, и выйдет на границу КПВ. Если закупить 1760 кг фарша «Домашний», то для изготовления котлеток потребуется докупить 1760*2/3=1173, кг фарша «Фермерский», а этот объем фарша находится за КПВ. Значит ресторан будет покупать фарш в объеме меньшем, чем 1760 кг. Это предполагает выход на КПВ на участке, связанным с ограничением по говядине. Это соответствует точке на КПВ, координаты которой мы находим из равенства $1500-0,375X=\frac{2}{3}X$. Получаем, что Х=1440, и, соответственно, Y=960. Ресторан покупает фарш «Домашний» - 1440 кг и фарш «Фермерский» - 960 кг. 3) Смешав два вида фарша, ресторан получает (1440+960=2400) кг фарша, пригодного для изготовления котлеток. В каждой котлетке содержится 80 грамм фарша. Поэтому количество котлеток, которое изготавливает и продает ресторан равно (2400*1000/80=30000), т.е. 30 тысяч котлеток. Ответ: 1) см. график 2) Ресторан еженедельно покупает 1440 кг фарша «Домашний» и - 960 кг фарша «Фермерский». 3) Ресторан еженедельно продает 30 тыс. котлеток.