Линейные функции и эластичность
На рынке товара А совокупный спрос формируют две группы покупателей. Спрос каждой группы покупателей и предложение товара А на рынке описываются линейными функциями. Известно, что спрос покупателей первой группы характеризуется единичной ценовой эластичностью, когда они выражают готовность приобрести 100 тонн товара А, а спрос покупателей второй группы — когда они готовы приобрести 90 тонн. Известно также, что продавцы товара А могли бы получить максимальную совокупную выручку, если бы на рынке установилась цена 47,5 ден. ед. за тонну, позволяющая делать покупки покупателям обеих групп. Но в настоящее время равновесная цена составляет только 20 ден. ед. за тонну, при этом расходы покупателей первой группы на покупку товара А равны расходам покупателей второй группы, а ценовая эластичность предложения равна 1. Неожиданный рост цен на сырье, необходимого для производства товара А, может привести к тому, что предложение товара изменится в 30 (!) раз при любом уровне цен. Определите, как и на сколько процентов изменится в этом случае выручка продавцов товара А.
Решение
В основе решения лежит следующее утверждение: так как функции спроса линейные, то их можно определить так: $Q=a-(a/b)P$, а значит выручка продавцов (расходы покупателей) будут максимальными, когда эластичность спроса по цене будет равна (-1), что достигается при $P=b/2$ и $Q=a/2$. Соответственно ПЕРВАЯ группа покупателей бесплатно готова получить максимально $100\times 2=200$ тонн товара А, а ВТОРАЯ группа $--- 90\times 2=180$ тонн товара А. Вместе они готовы бесплатно получить $200+180=380$ тонн товара А. Совокупный спрос описывается кусочно-линейной функцией, Нам известно, что максимальная выручка достигается при цене, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей, а значит если продолжить суммарную функцию спроса до пересечения с осью цен, то мы окажемся в точке $P=47,5\times 2=95$. (Ситуацию, соответствующую предположению, что максимум выручки может достигаться в случае когда на рынке остается только одна группа покупателей мы не рассматриваем, так как по условию при цене $P=47,5$ на рынке покупки совершают обе группы покупателей.) Итак, суммарная функция спроса имеет вид $Q_d=380-(380/95)P$, или $Q_d=380-4P$. Однако это функция описывает только тот участок суммарной функции спроса, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей. Теперь легко найти выручку продавцов в исходном состоянии равновесия $P_e=20$, $Q_e=380-4\times 20=300$. И $TR=20\times 300=6000$ рублей. Для того чтобы определиться с новым равновесием, нам надо выяснить какой будет функция предложения и на каком участке совокупного спроса будет оно достигаться равновесие (одна из групп покупателей при высокой цене товара А может покинуть рынок). Так как нам известно, что предложение имеет единичную эластичность по цене и функция предложения линейна, значит функция предложения проходит через начало координат и через исходную точку равновесия. Легко отсюда определить вид функции предложения $Q_s=15P$. Соответственно новое предложение будет описываться функцией $Q_s=(15P)/30=0,5P$, по-скольку из-за роста цен на сырье предложение УМЕНЬШИЛОСЬ в 30 раз. Так как нам известно, что при исходной равновесной цене расходы покупателей одинаковы, то значит и одинаковы объемы покупки товара А у каждой группы. И они составляют 150 тонн для каждой группы. Теперь легко восстановить исходные функции спроса покупателей каждой группы (используем подобие треугольников, или построение функции по двум точкам). Получаем – функция спроса ПЕРВОЙ группы покупателей - $Q_d=200-2,5P$ и эта группа покупателей готова покупать товар до тех пор пока цена ниже 80 ден.ед. за тонну, а функция спроса ВТОРОЙ группы покупателей — $Q_d=180-1,5P$, и они готовы покупать товар при ценах ниже 120 ден. ед. за тонну. Таким образом, суммарная функция спроса на товар А будет иметь вид: При ценах от 0 до 80 ден.ед. : $Q_d=380-4P$ При ценах от 80 до 120 ден.ед. $Q_d=180-1,5P$ Чтобы определиться с равновесием достаточно выяснить будет ли новая равновесная цена выше или ниже 80 ден.ед. При цене 80 ден.ед. покупатели готовы купить 60 тонн товара, а продавцы готовы продать 40 тонн товара. Возникает дефицит, который ведет к повышению цены товара А. Новое равновесие находим из следующего равенства $180-1,5P=0,5P.$ Итак, новое равновесие установится при $P_e=90, \ Q_e=45$. Выручка продавцов при этом со-ставит 4050 ден.ед. Таким образом, выручка продавцов должна снизиться на $-(4050/6000-1)*100\%=32,5\%.$ Ответ: Выручка продавцов снизится на 32,5%.