Хитрый жрец
Однажды в далёком Египте были жадный жрец и праведный мудрец. И фараон, пообщавшись с мудрецом, настолько проникся его мудростью, что приказал своему жрецу выдать награду мудрецу.
Подпункты
а)
Жрец положил в $n$ горшочков монеты, причём в первом была 1 монета, во 2 две монеты и т.д. И случайным образом распределил все горшочки по кругу, пригласив мудреца в его центр. Условия, по которым мудрец получает награду, следующие: 1)Мудрец случайным образом выбирает один из горшочков 2)И затем забирает те горшочки, в которых монет меньше, чем в его выбранном горшочке и сам выбранный горшочек. Пример: если мудрец выбрал горшочек с 5 монетами, то забирает горшочки, где есть 1,2,3,4,5 монет, то есть его награда равна 1+2+3+4+5=15 монетам. Однако жрец был очень жадный и решил оставить себе побольше денег. И он решил убрать один из горшочков стоящих в кругу, зная, что мудрец не очень внимателен. Какой горшочек ему надо убрать, чтобы максимизировать свой выигрыш и соответственно минимизировать награду мудреца? Предположим что жрец ориентируется на матожидание награды.
б)
Пусть правила "игры" между жрецом и мудрецом не изменились, за исключением одного: пусть жрец в каждый горшочек положил произвольное число монет, НО в никаких двух горшочках не лежит одинаковое число монет. Как изменится ответ на вопрос из предыдущего пункта?
в)
А что, если бы жрец одурманил мудреца перед входом в храм, и тот бы практически ослеп, что позволило бы жрецу убрать не один, а $m$, ($1\leq m\leq n$) горшочков. Расположение монет такое же как в пункте а) Найдите, какие горшочки надо убрать жрецу, для каждого m.
г)
Решите пункт в), если бы монеты располагались так же, как в пункте б)
Решение
А)Пронумеруем все горшочки от $1$ до $n$ в соответствии с количеством монет, которые в них лежат. Очевидным кажется решение, через то, что если жрец убирает горшочек с номером $k$, то мудрец недополучает сумму(по сравнению со случаем, когда все горшочки на месте) $$\mathit{s=k(n+1-k)/n}$$ так как горшочек с номером $k$ мог бы доставаться мудрецу в $(n+1-k)$ случаях из $n$. Относительно $k$ это парабола с ветвями вниз, максимум в вершине $\mathit{k=(n+1) div 2}$ где $\mathit{div 2}$ —целая часть при делении на 2. Однако, к сожалению, такое решение не является правильным, и я предлагаю посетителям сайта понять самим, почему. Примечание: Если вы сможете понять в чём ошибочность рассуждений "очевидного" решения пункта а), то это приблизит вас к ответу на остальные три пункта.