Хитрая эластичность

1) В задаче необходимо понять, в чем особенность точек с эластичностями $\pm 1$. Рассмотрим точку с $E=−1$ По формуле эластичности получаем: $$ E =\left( \dfrac{Pr(Q)}{Q} \right)' \cdot \dfrac{Q}{\dfrac{Pr(Q)}{Q}} = -1 $$ Преобразуем уравнение: $$ \dfrac{Pr(Q)' \cdot Q - Q' \cdot Pr(Q)}{Q^2} \cdot \dfrac{Q^2}{Pr(Q)}= -1 $$ Количество $Q$ не равно 0, поэтому можно сократить на $Q^2$. Получаем: $$ \begin{array}{c} Pr(Q)' \cdot Q - Pr(Q)= -Pr(Q) \\ Pr(Q)' \cdot Q=0 \\ Pr(Q)'=0 \end{array} $$ Следовательно, в точке $E=-1$ производная прибыли равна 0. Для данного графика количество , при котором производная прибыли равна 0, соответствует оптимальному объему производства. Значит, в точке с $E=-1$ прибыль максимальна. 2) Рассмотрим точку с $E=1$ По формуле эластичности получаем: $$ E =\left( \dfrac{Pr(Q)}{Q} \right)' \cdot \dfrac{Q}{\dfrac{Pr(Q)}{Q}} = 1 $$ Преобразуем уравнение: $$ \left( \dfrac{Pr(Q)}{Q} \right)' = \dfrac{Pr(Q)}{Q^2}$$ Значит, в точке с $E=1$ производная средней прибыли равна средней средней прибыли, где средняя средняя прибыль - $\left( \dfrac{Pr(Q)}{Q} / Q \right)$ Найдём эту точку на графике. Проведем через точку $(0;0)$ касательную к графику средней прибыли. А-точка касания. Заметим, что тангенс угла наклона касательной соответствует значению производной средней прибыли при данном количестве. Также тангенс угла наклона касательной соответствует средней средней прибыли. Значит, в точке А достигается равенство производной и средней средней прибыли. Значит, в данной точке эластичность равна 1. 3) Построение. Существует несколько путей построения. Приведу самый простой. Из точки A опустим перпендикуляр на ось Q, получим точку B. Отложим отрезок $BC$ на оси $Q$ так, что $BC=2OB$ Соединим А и С отрезком. Тогда тангенс угла наклона отрезка к оси $Q$ в два раза меньше , чем тангенс угла наклона касательной к точке с $E=1$. Значит, мы получили прямую, параллельную той, которая касается графика в точке с $E=-1$. Тогда начнем передвигать отрезок параллельной вверх, пока он не станет лежать на касательной к графику средней прибыли. Получим точку $D$, в которой эластичность равна -1. Значит, в точке $D$ прибыль максимальна. Чтобы найти оптимальный объём производства опустим из точки $D$ перпендикуляр на ось $Q$. Примечание: Существует более быстрый способ построения, в котором не надо строить параллельные прямые.