«Пазалати ручку!», или Задача для 7 класса
В точке оптимума рентабельность ($\frac{\pi}{ТС}$) крупнейшей сети на рынке футурологических услуг "Пазалати ручку!" оказалась равна отношению средних издержек к цене. Определите эластичность рыночного спроса в точке максимума прибыли, если на пресс-конференции глава этой корпорации Айнанэ Нанэ заявил, что эластичность общих издержек по выпуску составила 1,5.
Решение
Представим ситуацию наглядно. Нам дан некоторый отрезок $TR$, на котором отложены части $\pi$ и $TC$. По условию, $$\frac{\pi}{TC} = \frac{AC}{P} = \frac{TC}{TR}$$ Но это же золотое сечение! (На эту мысль наталкивает название задачи=)). Значит, каждая из этих дробей равна $\frac{2}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Таким образом, $P=\frac{\sqrt{5}+1}{2}AC$. Ещё нам дано, что $E_Q[TC] = \frac{MC}{AC} = 1,5$. Понятно, что $MC = \frac{3}{2}AC$. Поскольку речь идёт об оптимальном объёме выпуска, мы можем воспользоваться индексом Лернера: $$L = \frac{P - MC}{P} = \frac{\sqrt{5} + 1 - 3}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{1}{E_P[Q]}$$. Получаем ответ $E_P[Q] = - (7 + 3\sqrt{5})$. Ответ: $- (7 + 3\sqrt{5})$