Новогоднее предложение от монополиста
Спрос на продукцию монополиста линеен (снижение цены на 1 руб. неизменно вызывает рост величины спроса на 1 ед.), а средние издержки ее производства постоянны. Максимальная прибыль фирмы составила 4036081 руб. Сколько единиц продукции выпустила фирма?
Решение
Аналитическое: Пусть $P_d = a - bQ$, $AC = c$. Тогда $TC = cQ$. По условию, $b = 1$. $MR = a - 2Q = MC = c \Rightarrow Q^* = \frac{{a - c}}{2}$; $\pi _{max } = \left( {a - \frac{{a - c}}{2}} \right) \cdot \frac{{a - c}}{2} - c \cdot \frac{{a - c}}{2} = \left( {\frac{{a - c}}{2}} \right)^2 = \left( {Q^*} \right)^2;\\ Q^* = \sqrt {\pi _{\max } } = 2009$. Геометрическое: Наклон кривой спроса равен 1. Поэтому $\left. \begin{array}{r} OF = OE\\ OB = BE\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{OF}{OB} = 2.$ В силу подобия $\bigtriangleup FOB$ и $\bigtriangleup FCA$, $\frac{{FC}}{{CA}} = \frac{FO}{OB} = 2$. Получаем: $ \pi _{\max } = S_{\bigtriangleup FCA} = 0{,}5 \cdot CA \cdot FC = 0{,}5 \cdot CA \cdot 2CA = CA^2$. Таким образом, в данном случае максимальная прибыль фирмы численно равна квадрату оптимального выпуска: $Q^* = \sqrt {\pi _{\max } } = \sqrt{4036081} = 2009$. Ответ: 2009.