Сапоги-скороходы
В некотором царстве, в Тридесятом государстве жил-был царь Ерофей — любитель всяческих затей. И затеял он как-то раз модернизировать свою дружину — обуть каждого дружинника в сапоги-скороходы. Было в его царстве 40 мастеров, которые шили такие сапоги. Приказал Ерофей изымать у каждого мастера половину от того количества, что он сошьет сверх 1 пары в месяц. Сколько дружинников можно будет обуть за месяц, если каждый мастер продает сапоги-скороходы на рынке совершенной конкуренции и стремится максимизировать прибыль, спрос на них описывается функцией $Q_D=600-10P$, где $P$ — цена пары сапог (руб.), $Q$ — величина спроса в месяц (пар). Издержки изготовления сапог-скороходов у всех мастеров задаются одинаковой функцией $TC=2q^2+4q+10$, где $q$ — количество пар сапог, изготавливаемых одним мастером за месяц. Как изменится в результате введения натурального сбора общее количество сапог-скороходов, изготавливаемых в месяц в царстве Ерофея? Как изменится прибыль каждого мастера?
Решение
а). Введение натурального сбора, уплачиваемого производителями, изменит функцию рыночного предложения, следовательно, изменится цена и решение каждого производителя об объёмах производства. При любой цене производитель определяет объём производства так, чтобы максимизировать прибыль. Если каждый мастер производит $q$ пар сапог, то продает он $q-(q-1)\cdot0,5$ пары. Тогда: \[\pi=P\left(q-(q-1)\cdot0,5\right)-2q^2-4q-10\rightarrow \max\\ 0,5P-4=4q\\ q^*=\frac{0,5P-4}{4}=\frac{1}{8} P-1\] Однако в данной ситуации объём производства не совпадает с объёмом предложения. На рынке каждый мастер будет предлагать $q_s=q^*-(q^*-1)\cdot0,5$. То есть: \[q_s=\left(\dfrac{1}{8} P-1\right)-\left(\dfrac{1}{8} P-1-1\right)\cdot0,5\\ q_s=\dfrac{1}{16} P\\ Q_S=40\cdot \dfrac{1}{16} P=2,5P\] Найдем равновесную цену, равновесное количество и величину предложения одной фирмы: \[600-10P=2,5P\\ P=48\\ Q=120\\ q=3\] То есть на рынке каждый мастер будет продавать 3 пары сапог, а производить: $q^*=\dfrac{1}{8}\cdot48-1=5$ Значит, в виде налога каждым мастером будет уплачено 2 пары сапог $\left(5 – 3 = 2 \text{, или иначе } (5 – 1) \cdot 0,5 = 2\right)$. Следовательно, можно будет обуть 80 дружинников $(40 \cdot2 = 80)$. б) Прибыль каждого мастера после введения натурального налога: \[\pi_1=48\cdot3-2\cdot5^2-4\cdot5-10=64\] Определим объем производства каждого мастера и его прибыль до введения налога. Для этого определим функцию рыночного предложения и равновесную цену. Предложение каждого мастера определяется из условия $P=MC$: \[P=4q+4\\ q_S=\dfrac{P-4}{4}\\ Q_S=10P-40\\ 600-10P=10P-40\\ P=32\\ Q=280\\ q=7\\ \pi_0=7\cdot32-2\cdot7^2-4\cdot7-10=88\] Ответ: За месяц можно обуть 80 дружинников. Количество сапог-скороходов, производимых в царстве Ерофея, после введения сбора сократилось на 160 пар, прибыль каждого мастера сократилась на 24 монеты.