Вроде одинаковые, а такие разные…
Миша и Маша одновременно положили одинаковую сумму денег на счёт в банке в 2004 году 1 января. На протяжении 20 лет вклад был в банке, а в конце каждого года начислялись проценты на сумму, которая была на вкладе 2 января. Маша по чётным годам 1 января добавляла 5000 рублей на счёт, а по нечётным – снимала 5000. Миша же действовал наоборот: по нечётным добавлял, а по чётным – снимал. Кто из ребят накопил больше к началу 2024 года и насколько (если считать, что никто ничего не докладывал и не снимал в этом году)? Ответ дайте относительно r (ставки вклада).
Решение
Пусть Y - сумма вклада. R - $(1 + \frac{r}{100})$
Маша: $R^{20}Y - R^{19}\cdot 5000 + R^{18}\cdot 5000 - ... + R^2\cdot 5000 - R\cdot 5000
= R^{20}Y - \frac{5000R(R^{20} - 1)}{R^2 - 1} + \frac{5000R^2(R^{18} - 1)}{R^2 - 1}$
Миша: $R^{20}Y + \frac{5000R(R^{20} - 1)}{R^2 - 1} - \frac{5000R^2(R^{18} - 1)}{R^2 - 1}$
Там всё как-то красиво сокращается и получается, что Миша накопил больше на $\frac{10000R^{20} + 10000R}{R + 1}$
Маша: $R^{20}Y - R^{19}\cdot 5000 + R^{18}\cdot 5000 - ... + R^2\cdot 5000 - R\cdot 5000
= R^{20}Y - \frac{5000R(R^{20} - 1)}{R^2 - 1} + \frac{5000R^2(R^{18} - 1)}{R^2 - 1}$
Миша: $R^{20}Y + \frac{5000R(R^{20} - 1)}{R^2 - 1} - \frac{5000R^2(R^{18} - 1)}{R^2 - 1}$
Там всё как-то красиво сокращается и получается, что Миша накопил больше на $\frac{10000R^{20} + 10000R}{R + 1}$