Мечи в Тридевятом государстве
В Тридевятом государстве существует два региона, КПВ которых $y_{1}=30-0.5x_{1}$ и $y_{2}=50-2x_{2}$ соответственно. Государство максимизирует количество мечей, которые можно производить по двум технологиям. Таким образом, если производить мечи по первой технологии, то для производства одного меча потребуется 5 единиц товара $x$ и 5 единиц товара $y$. Если же производить мечи по второй технологии, то для производства одного меча потребуется 8 единиц товара $x$ и 2 единицы товара $y$. Найдите, какое максимальное количество мечей сможет произвести Тридевятое государство, если: a) можно использовать только одну технологию (в этом и следующих пунктах считайте, что мечи бесконечно делимые). b) можно использовать две технологии. Также для данного пункта найдите, сколько мечей будет произведенно по каждой технологии. с) государство вступает в торговлю, и теперь две единицы $x$ можно обменять на одну единицу $y$ (и наоборот). Также всё еще можно использовать две технологии. Как изменится ответ по сравнению с пунктом $b)$? Почему?
Ответ
а) государство произведёт $10\tfrac{2}{3}$ меча; б) 11 мечей ($9\tfrac{1}{3}$ по первой технологии, $1\tfrac{2}{3}$ — по второй).
Решение
Для начала найдём общую КПВ: заметим, что альтернативные издержки производства $x$ в первом регионе меньше, чем альтернативные издержки производства $x$ во втором регионе (так как $0.5 < 2$). Тогда КПВ имеет следующий вид: $$ y = \begin{cases} 80 - 0.5x, x \in [0;60] \\ 170 - 2x, x \in [60; 85] \end{cases} $$ Первая технология: $k_1 = min(\dfrac{x}{5}, \dfrac{y}{5} )$ Вторая технология: $k_2 =min(\dfrac{x}{8}, \dfrac{y}{2})$ Продолжение решения в комментариях. Ответ: а) Государство произведёт 10$\frac{2}{3}$ меча. б) Государство произведёт 11 мечей, 9$\frac{1}{3}$ по первой технологии, 1$\frac{2}{3}$ - по второй. в) Государство произведёт 13$\frac{1}{3}$ меча. Количество мечей выросло.