Дефлятор ВВП и темп инфляции за век
Кто эту задачу не решал, жизни не видал (Алексей Суздальцев)
Как в 2022, так и в 2122 году в стране X производились и потреблялись одни и те же 100 товаров. Однако в связи с глобальными изменениями в технологиях производства и предпочтениях потребителей цены на эти товары изменились за 100 лет крайне неравномерно.
Так, было обнаружено, что цена товара с номером i в 2122 году составляла примерно $i(i+1)\%$ от цены того же товара в 2022 г. Например, цена первого товара в 2122 году составила $1(1+1)\%=2\%$ от цены того же товара в 2022 году (то есть уменьшилась в 50 раз), а цена 100-го товара в 2122 году составила $100(1+100)\%=10100\%$ от цены этого товара в 2022 году, то есть выросла в 101 раз.
Оцените на основе дефлятора ВВП темп инфляции за 100 лет, если известно, что в 2122 году средний потребитель потратил на покупку каждого из товаров одинаковую сумму.
Как в 2022, так и в 2122 году в стране X производились и потреблялись одни и те же 100 товаров. Однако в связи с глобальными изменениями в технологиях производства и предпочтениях потребителей цены на эти товары изменились за 100 лет крайне неравномерно.
Так, было обнаружено, что цена товара с номером i в 2122 году составляла примерно $i(i+1)\%$ от цены того же товара в 2022 г. Например, цена первого товара в 2122 году составила $1(1+1)\%=2\%$ от цены того же товара в 2022 году (то есть уменьшилась в 50 раз), а цена 100-го товара в 2122 году составила $100(1+100)\%=10100\%$ от цены этого товара в 2022 году, то есть выросла в 101 раз.
Оцените на основе дефлятора ВВП темп инфляции за 100 лет, если известно, что в 2122 году средний потребитель потратил на покупку каждого из товаров одинаковую сумму.
Решение
Обозначим цену и количество i-того товара в 2022 году за $P_{i}^{0}$ и $Q_{i}^{0}$, в 2122 году - за $P_{i}^{1}$ и $Q_{i}^{1}$. Как можно понять из последнего условия, расходы на каждый из товаров в 2122 году были одинаковы. Обозначим их за E, причем $E=P_{i}^{1}Q_{i}^{1}$ для любого i.
Как известно, дефлятор ВВП является индексом цен Пааше, и поэтому:
$$P = \frac{P_{1}^{1}Q_{1}^{1}+P_{2}^{1}Q_{2}^{1}+\ldots +P_{100}^{1}Q_{100}^{1}}{P_{1}^{0}Q_{1}^{1}+P_{2}^{0}Q_{2}^{1}+\ldots +P_{100}^{0}Q_{100}^{1}} = \frac{E+E+\ldots + E}{E \frac{P_{1}^{0}}{P_{1}^{1}} + E \frac{P_{2}^{0}}{P_{2}^{1}} + \ldots E \frac{P_{100}^{0}}{P_{100}^{1}}} = $$
$$ = \frac{100}{ \frac{P_{1}^{0}}{P_{1}^{1}} + \frac{P_{2}^{0}}{P_{2}^{1}} + \ldots \frac{P_{100}^{0}}{P_{100}^{1}}}$$
Теперь подставим в это выражение известные из условия темпы роста цен каждого из товаров:
$$\frac{100}{\frac{P_{1}^{0}}{P_{1}^{1}} + \frac{P_{2}^{0}}{P_{2}^{1}} + \ldots \frac{P_{100}^{0}}{P_{100}^{1}}} = \frac{100}{\frac{1}{(1 \cdot 2)\%} + \frac{1}{(2 \cdot 3)\%} + \ldots + \frac{1}{(100 \cdot 101)}\%} = $$
$$= \frac{1}{\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{100 \cdot 101}}$$
Задача, таким образом, свелась к тому, чтобы найти сумму, стоящую в знаменателе получившегося выражения. Это можно сделать с помощью следующего приема:
$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{100 \cdot 101} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \ldots + (\frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = 1 - \frac{100}{101} = $$
$$= \frac{100}{101}$$
Значит, дефлятор равен $\frac{101}{100} = 1,01$, а темп инфляции, рассчитанный на его основе, равен $1\%$.
Ответ: $1\%$.
Как известно, дефлятор ВВП является индексом цен Пааше, и поэтому:
$$P = \frac{P_{1}^{1}Q_{1}^{1}+P_{2}^{1}Q_{2}^{1}+\ldots +P_{100}^{1}Q_{100}^{1}}{P_{1}^{0}Q_{1}^{1}+P_{2}^{0}Q_{2}^{1}+\ldots +P_{100}^{0}Q_{100}^{1}} = \frac{E+E+\ldots + E}{E \frac{P_{1}^{0}}{P_{1}^{1}} + E \frac{P_{2}^{0}}{P_{2}^{1}} + \ldots E \frac{P_{100}^{0}}{P_{100}^{1}}} = $$
$$ = \frac{100}{ \frac{P_{1}^{0}}{P_{1}^{1}} + \frac{P_{2}^{0}}{P_{2}^{1}} + \ldots \frac{P_{100}^{0}}{P_{100}^{1}}}$$
Теперь подставим в это выражение известные из условия темпы роста цен каждого из товаров:
$$\frac{100}{\frac{P_{1}^{0}}{P_{1}^{1}} + \frac{P_{2}^{0}}{P_{2}^{1}} + \ldots \frac{P_{100}^{0}}{P_{100}^{1}}} = \frac{100}{\frac{1}{(1 \cdot 2)\%} + \frac{1}{(2 \cdot 3)\%} + \ldots + \frac{1}{(100 \cdot 101)}\%} = $$
$$= \frac{1}{\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{100 \cdot 101}}$$
Задача, таким образом, свелась к тому, чтобы найти сумму, стоящую в знаменателе получившегося выражения. Это можно сделать с помощью следующего приема:
$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{100 \cdot 101} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \ldots + (\frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = 1 - \frac{100}{101} = $$
$$= \frac{100}{101}$$
Значит, дефлятор равен $\frac{101}{100} = 1,01$, а темп инфляции, рассчитанный на его основе, равен $1\%$.
Ответ: $1\%$.