Матричный метод
В некоторой стране существует $n$ групп населения, внутри каждой из групп доходы распределены равномерно. Точки излома кривой Лоренца этой страны имеют координаты ($x_1; \: y_1$), ($x_2; \: y_2$), . . ., ($x_{n-1}; \: y_{n-1}$), ($x_n; \: y_n$), где $x_n = y_n = 1$.
Подпункты
а)
Выразите площадь треугольника, точки которого имеют координаты (0; 0), ($x_1$, $y_1$), ($x_2$, $y_2$), причем $\frac{y_2}{x_2} > \frac{y_1}{x_1}$; $y_2>y_1>0$; $x_2>x_1>0$.
б)
Докажите следующую формулу для коэффициента Джини этой страны:
$$G = \sum_{i = 1}^{n-1} x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1}\cdot y_i.$$
Эту формулу обычно называют матричным методом, ее нельзя использовать на олимпиадах без доказательства.
$$G = \sum_{i = 1}^{n-1} x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1}\cdot y_i.$$
Эту формулу обычно называют матричным методом, ее нельзя использовать на олимпиадах без доказательства.
Решение
• [а)] Просто считаем, получим $S = \frac{x_1y_2 - x_2y_1}{2}$.
• Проводим из начала координат к каждому из переломов кривой Лоренца прямую. Получаем много треугольников, ищем сумму их площадей по предыдующей формуле, отсюда выражаем коэффициент Джини.
• Проводим из начала координат к каждому из переломов кривой Лоренца прямую. Получаем много треугольников, ищем сумму их площадей по предыдующей формуле, отсюда выражаем коэффициент Джини.