Фирма-монополист работает на рынке со спросом $q_d = 30 - p$, где $q$ — объём пр
Фирма-монополист работает на рынке со спросом $q_d = 30 - p$, где $q$ — объём продаж (в месяц), $p$ — цена. Производство каждой единицы продукции обходится фирме в $10$ д.е. (то есть $TC(q)=10q$).
Фирма платит налог на прибыль по ставке $t=20\%$ только в том случае, если задекларированная прибыль положительна.
У фирмы есть две возможности уменьшить налогооблагаемую прибыль:
• Нелегальное уклонение. Фирма может скрыть $x$ д.е. прибыли (то есть задекларировать на $x$ меньше), чтобы не платить налог с этой суммы. Однако уклонение требует затрат $0.01x^2$ д.е. Эти затраты «неофициальны»: они не отражаются в бухгалтерских издержках и оплачиваются из чистой прибыли (после уплаты налога).
• Легальный перенос прибыли. Фирма может перенести $I$ д.е. прибыли на следующий месяц (уменьшив текущую налогооблагаемую прибыль на $I$). Во втором месяце фирма получает обратно только $0.9I$ д.е. (то есть теряет $0.1I$). Оформление переноса также стоит $0.01I^2$ д.е. и оплачивается «неофициально» из чистой прибыли.
Фирма выбирает $q\ge 0$, $x\ge 0$ и $I\ge 0$ так, чтобы максимизировать суммарную чистую прибыль за два месяца. Во втором месяце фирма не производит (учитывается только возврат $0.9I$). Предполагается ограничение $x+I\le \pi(q)$, где $\pi(q)$ — фактическая прибыль фирмы до налога при выпуске $q$.
Фирма платит налог на прибыль по ставке $t=20\%$ только в том случае, если задекларированная прибыль положительна.
У фирмы есть две возможности уменьшить налогооблагаемую прибыль:
• Нелегальное уклонение. Фирма может скрыть $x$ д.е. прибыли (то есть задекларировать на $x$ меньше), чтобы не платить налог с этой суммы. Однако уклонение требует затрат $0.01x^2$ д.е. Эти затраты «неофициальны»: они не отражаются в бухгалтерских издержках и оплачиваются из чистой прибыли (после уплаты налога).
• Легальный перенос прибыли. Фирма может перенести $I$ д.е. прибыли на следующий месяц (уменьшив текущую налогооблагаемую прибыль на $I$). Во втором месяце фирма получает обратно только $0.9I$ д.е. (то есть теряет $0.1I$). Оформление переноса также стоит $0.01I^2$ д.е. и оплачивается «неофициально» из чистой прибыли.
Фирма выбирает $q\ge 0$, $x\ge 0$ и $I\ge 0$ так, чтобы максимизировать суммарную чистую прибыль за два месяца. Во втором месяце фирма не производит (учитывается только возврат $0.9I$). Предполагается ограничение $x+I\le \pi(q)$, где $\pi(q)$ — фактическая прибыль фирмы до налога при выпуске $q$.
Подпункты
а)
Найдите чистую прибыль фирмы (за два месяца), если фирма не уклоняется от уплаты налога и не переносит прибыль ($x=0$, $I=0$).
б)
Найдите оптимальные $x$ и $I$ и соответствующую суммарную чистую прибыль за два месяца (с учётом затрат на уклонение и перенос).
в)
Как изменится оптимальный перенос $I$ и суммарная чистая прибыль, если во втором месяце фирма получает обратно только $0.7I$ (вместо $0.9I$)?
Решение
Спрос: $q=30-p \Rightarrow p(q)=30-q$.
Тогда выручка $TR(q)=p(q)\,q=(30-q)q=30q-q^2$, а издержки $TC(q)=10q$.
Фактическая прибыль до налога:
\[
\pi(q)=TR(q)-TC(q)=(30q-q^2)-10q=20q-q^2.
\]
Ключевое замечание: почему оптимальный выпуск не меняется.
Пусть ставка налога на прибыль $t=0.2$. Фирма может скрыть $x\ge 0$ и перенести $I\ge 0$
так, что задекларированная прибыль равна $\pi(q)-x-I$.
Предполагается ограничение $x+I\le \pi(q)$ (нельзя скрыть/перенести больше фактической прибыли).
Во втором месяце фирма получает обратно $0.9I$, то есть теряет $0.1I$.
«Неофициальные» затраты: $0.01x^2+0.01I^2$ (оплачиваются из чистой прибыли).
Если задекларированная прибыль положительна, то суммарная чистая прибыль за два месяца равна
\[
\Pi(q,x,I)=\pi(q)-t\bigl(\pi(q)-x-I\bigr)-0.01x^2-0.01I^2-0.1I.
\]
Перегруппируем:
\[
\Pi(q,x,I)=(1-t)\pi(q)+\bigl(tx-0.01x^2\bigr)+\bigl((t-0.1)I-0.01I^2\bigr).
\]
При $t=0.2$:
\[
\Pi(q,x,I)=0.8\,\pi(q)+\bigl(0.2x-0.01x^2\bigr)+\bigl(0.1I-0.01I^2\bigr).
\]
Для фиксированного $q$ (то есть фиксированного $\pi(q)$) фирма выбирает $x,I$,
максимизируя сумму двух парабол, при ограничениях $x\ge 0$, $I\ge 0$, $x+I\le \pi(q)$.
Так как $\pi(q)=20q-q^2$ — парабола с вершиной при $q=10$, получаем
\[
q^*=10, p^*=30-10=20, \pi^*=\pi(10)=20\cdot 10-10^2=100.
\]
(При этом в оптимуме задекларированная прибыль окажется положительной, см. ниже.)
а) $x=0$, $I=0$.
Налог платится с фактической прибыли $\pi^*=100$:
\[
Tax=t\pi^*=0.2\cdot 100=20.
\]
Суммарная чистая прибыль за два месяца (во втором месяце нет производства и нет переноса):
\[
\Pi_0=100-20=80.
\]
Ответ: $\Pi_0=80$.
б) Оптимальные уклонение и перенос при $t=0.2$ и возврате $0.9I$.
Теперь максимизируем по $x$ и $I$ (при фиксированном $q^*$, то есть $\pi^*=100$):
\[
\Pi=0.8\cdot 100+\bigl(0.2x-0.01x^2\bigr)+\bigl(0.1I-0.01I^2\bigr).
\]
Каждая скобка — парабола, максимум в вершине:
\[
x^*=\frac{0.2}{0.02}=10, I^*=\frac{0.1}{0.02}=5.
\]
Проверка ограничений: $x^*+I^*=15\le 100$, задекларированная прибыль
$100-10-5=85>0$, значит формула налога применима корректно.
Итоговая суммарная чистая прибыль:
\[
\Pi^*=80+\bigl(0.2\cdot 10-0.01\cdot 10^2\bigr)+\bigl(0.1\cdot 5-0.01\cdot 5^2\bigr)
=80+(2-1)+(0.5-0.25)=81.25.
\]
Ответ: $x^*=10$, $I^*=5$, $\Pi^*=81.25$.
в) Если возврат равен $0.7I$.
Теперь потеря от переноса составляет $0.3I$, и вклад переноса в прибыль равен
\[
(t-0.3)I-0.01I^2=(0.2-0.3)I-0.01I^2=-0.1I-0.01I^2\le 0,
\]
поэтому оптимально $I^*=0$. Оптимальное уклонение не меняется:
\[
x^*=\frac{0.2}{0.02}=10.
\]
Тогда суммарная прибыль:
\[
\Pi=0.8\cdot 100+\bigl(2-1\bigr)=81.
\]
Ответ: $I^*=0$, суммарная чистая прибыль $81$
Тогда выручка $TR(q)=p(q)\,q=(30-q)q=30q-q^2$, а издержки $TC(q)=10q$.
Фактическая прибыль до налога:
\[
\pi(q)=TR(q)-TC(q)=(30q-q^2)-10q=20q-q^2.
\]
Ключевое замечание: почему оптимальный выпуск не меняется.
Пусть ставка налога на прибыль $t=0.2$. Фирма может скрыть $x\ge 0$ и перенести $I\ge 0$
так, что задекларированная прибыль равна $\pi(q)-x-I$.
Предполагается ограничение $x+I\le \pi(q)$ (нельзя скрыть/перенести больше фактической прибыли).
Во втором месяце фирма получает обратно $0.9I$, то есть теряет $0.1I$.
«Неофициальные» затраты: $0.01x^2+0.01I^2$ (оплачиваются из чистой прибыли).
Если задекларированная прибыль положительна, то суммарная чистая прибыль за два месяца равна
\[
\Pi(q,x,I)=\pi(q)-t\bigl(\pi(q)-x-I\bigr)-0.01x^2-0.01I^2-0.1I.
\]
Перегруппируем:
\[
\Pi(q,x,I)=(1-t)\pi(q)+\bigl(tx-0.01x^2\bigr)+\bigl((t-0.1)I-0.01I^2\bigr).
\]
При $t=0.2$:
\[
\Pi(q,x,I)=0.8\,\pi(q)+\bigl(0.2x-0.01x^2\bigr)+\bigl(0.1I-0.01I^2\bigr).
\]
Для фиксированного $q$ (то есть фиксированного $\pi(q)$) фирма выбирает $x,I$,
максимизируя сумму двух парабол, при ограничениях $x\ge 0$, $I\ge 0$, $x+I\le \pi(q)$.
Так как $\pi(q)=20q-q^2$ — парабола с вершиной при $q=10$, получаем
\[
q^*=10, p^*=30-10=20, \pi^*=\pi(10)=20\cdot 10-10^2=100.
\]
(При этом в оптимуме задекларированная прибыль окажется положительной, см. ниже.)
а) $x=0$, $I=0$.
Налог платится с фактической прибыли $\pi^*=100$:
\[
Tax=t\pi^*=0.2\cdot 100=20.
\]
Суммарная чистая прибыль за два месяца (во втором месяце нет производства и нет переноса):
\[
\Pi_0=100-20=80.
\]
Ответ: $\Pi_0=80$.
б) Оптимальные уклонение и перенос при $t=0.2$ и возврате $0.9I$.
Теперь максимизируем по $x$ и $I$ (при фиксированном $q^*$, то есть $\pi^*=100$):
\[
\Pi=0.8\cdot 100+\bigl(0.2x-0.01x^2\bigr)+\bigl(0.1I-0.01I^2\bigr).
\]
Каждая скобка — парабола, максимум в вершине:
\[
x^*=\frac{0.2}{0.02}=10, I^*=\frac{0.1}{0.02}=5.
\]
Проверка ограничений: $x^*+I^*=15\le 100$, задекларированная прибыль
$100-10-5=85>0$, значит формула налога применима корректно.
Итоговая суммарная чистая прибыль:
\[
\Pi^*=80+\bigl(0.2\cdot 10-0.01\cdot 10^2\bigr)+\bigl(0.1\cdot 5-0.01\cdot 5^2\bigr)
=80+(2-1)+(0.5-0.25)=81.25.
\]
Ответ: $x^*=10$, $I^*=5$, $\Pi^*=81.25$.
в) Если возврат равен $0.7I$.
Теперь потеря от переноса составляет $0.3I$, и вклад переноса в прибыль равен
\[
(t-0.3)I-0.01I^2=(0.2-0.3)I-0.01I^2=-0.1I-0.01I^2\le 0,
\]
поэтому оптимально $I^*=0$. Оптимальное уклонение не меняется:
\[
x^*=\frac{0.2}{0.02}=10.
\]
Тогда суммарная прибыль:
\[
\Pi=0.8\cdot 100+\bigl(2-1\bigr)=81.
\]
Ответ: $I^*=0$, суммарная чистая прибыль $81$