Если есть на свете рай...
Каждый из 150 тыс. жителей города АНАПА каждое утро решает, добираться ли ему на работу на метро или на автомобиле. На метро можно гарантированно добраться до работы за 60 минут, независимо от количества пассажиров. Время в пути на автомобиле, однако, тем больше, чем больше людей выбрали этот вид транспорта. Если $n$ тысяч человек решили поехать на автомобиле, то каждый из них затратит на дорогу $10+0.5n$ минут. Будем считать, что время в пути — единственное, что учитывает житель при выборе способа передвижения.
Подпункты
а)
Сколько человек должны выехать на дорогу, чтобы суммарное время всех горожан на то, чтобы добраться до работы, было минимально? Назовем это количество водителей общественно оптимальным.
б)
Предположим, каждый человек точно оценивает количество водителей, выехавших на дорогу до него, и, независимо от других, решает, каким видом транспорта ему воспользоваться. Сколько человек поедут на автомобиле при таком независимом принятии решений? Будет ли это количество водителей общественно оптимальным?
в)
Каждый житель города оценивает 1 минуту своего времени в 10 руб. Какую плату за въезд на дороги нужно ввести государству, чтобы в ситуации, описанной в пункте «б», количество водителей было общественно оптимальным?
Решение
Найдем суммарное время горожан на то, чтобы добраться на работу, как функцию от $n$ — количества выехавших. Каждый из $n$ тысяч человек затратит по $10+0,5n$ минут, еще $(150-n)$ тысяч человек поедут на метро и затратят по 60 минут. Таким образом, суммарное время составит
$$T(n)=n(10+0,5n)+60(150-n)=0,5n^2-50n+60\cdot150$$
График данной функции является параболой с ветвями вверх, минимальное суммарное время достигается в ее вершине, то есть при $n=50$. Итак, общественно оптимальное количество водителей — 50 тыс. человек.
Как следует из условия, время, которое проведёт в пути данный водитель, зависит не только от того, сколько водителей выехало до него, но и от того, сколько выедет после. Поэтому, принимая решение о виде транспорта, человек будет учитывать то, что случится после его выбора.
Может ли время в пути на автомобиле оказаться больше, чем на метро? Для этого необходимо, чтобы на дороги выехало больше 100000 жителей $(10+0,5\cdot100=60)$. Пусть это так. Рассмотрим человека, который выехал 100001-м. Как он рассуждал в момент своего выбора? Если он выедет на дорогу, то время, которое он проведёт в пути, точно будет как минимум $10+0,5\cdot100.001$ минут, что больше 60 минут. Значит, он не мог выбрать автомобиль. Таким образом, 100001-й водитель не может существовать. Следовательно, число водителей не может быть больше 100 тыс.
Если государство введет плату $t$, то выраженные в минутах общие издержки на дорогу для каждого автомобилиста составят $C(n)=10+0,5n+\frac{t}{10}$ минут.
Нам нужно, чтобы на дороги выехало ровно 50 тыс. человек. Для этого необходимо подобрать $t$ так, чтобы $C(50)$ было меньше 60, а $C(50001/1000)$ было больше 60. Из этих двух неравенств получаем, что нам подойдёт $t=249,995$.
$$T(n)=n(10+0,5n)+60(150-n)=0,5n^2-50n+60\cdot150$$
График данной функции является параболой с ветвями вверх, минимальное суммарное время достигается в ее вершине, то есть при $n=50$. Итак, общественно оптимальное количество водителей — 50 тыс. человек.
Как следует из условия, время, которое проведёт в пути данный водитель, зависит не только от того, сколько водителей выехало до него, но и от того, сколько выедет после. Поэтому, принимая решение о виде транспорта, человек будет учитывать то, что случится после его выбора.
Может ли время в пути на автомобиле оказаться больше, чем на метро? Для этого необходимо, чтобы на дороги выехало больше 100000 жителей $(10+0,5\cdot100=60)$. Пусть это так. Рассмотрим человека, который выехал 100001-м. Как он рассуждал в момент своего выбора? Если он выедет на дорогу, то время, которое он проведёт в пути, точно будет как минимум $10+0,5\cdot100.001$ минут, что больше 60 минут. Значит, он не мог выбрать автомобиль. Таким образом, 100001-й водитель не может существовать. Следовательно, число водителей не может быть больше 100 тыс.
Если государство введет плату $t$, то выраженные в минутах общие издержки на дорогу для каждого автомобилиста составят $C(n)=10+0,5n+\frac{t}{10}$ минут.
Нам нужно, чтобы на дороги выехало ровно 50 тыс. человек. Для этого необходимо подобрать $t$ так, чтобы $C(50)$ было меньше 60, а $C(50001/1000)$ было больше 60. Из этих двух неравенств получаем, что нам подойдёт $t=249,995$.