...то это Краснодарский край
В экономике страны ГЕЛЕНДЖИК совокупный доход задан уравнением $Y= 2\sqrt{L}$, где $L$ — суммарное количество человеко-часов. Рассмотрим взаимодействие двух экономических агентов, действующих в этой стране: правительства и людей.
Взаимодействие устроено следующим образом:
• Сначала правительство объявляет ставку $t$ (долю дохода индивида, которая отойдет государству в качестве налога), оно любит большой совокупный доход и большую налоговую базу, поэтому функция полезности может быть представлена следующим образом:
$$U_G = Y^2 + 50 * T_i$$ где $T_i$ — налоговые сборы с $i$ человека.
• После этого люди (их в стране 50) максимизируют свою полезность: $U_i = \sqrt{C} + l_e$, где $C$ — потребление индивида, а $l_e$ — время, которую индивид посвящает досугу (оставшееся время индивид посвящает труду, таким образом, $l_e + l = 16$, где $l$ - величина предложения труда индивидом). Зарплата индивида равна $64$, другого заработка у человека нет.
Найдите оптимальную налоговую ставку $t$.
Взаимодействие устроено следующим образом:
• Сначала правительство объявляет ставку $t$ (долю дохода индивида, которая отойдет государству в качестве налога), оно любит большой совокупный доход и большую налоговую базу, поэтому функция полезности может быть представлена следующим образом:
$$U_G = Y^2 + 50 * T_i$$ где $T_i$ — налоговые сборы с $i$ человека.
• После этого люди (их в стране 50) максимизируют свою полезность: $U_i = \sqrt{C} + l_e$, где $C$ — потребление индивида, а $l_e$ — время, которую индивид посвящает досугу (оставшееся время индивид посвящает труду, таким образом, $l_e + l = 16$, где $l$ - величина предложения труда индивидом). Зарплата индивида равна $64$, другого заработка у человека нет.
Найдите оптимальную налоговую ставку $t$.
Решение
Для начала посмотрим как будет вести себя потребитель в зависимости от налога: $$U_i = \sqrt{64l\cdot(1-t)} + 16 - l \rightarrow max$$
$$U'_i = 4\sqrt{\cfrac{(1-t)}{l}} - 1 = 0$$
$$U''_i < 0$$
$$l = 16(1 - t)$$
Получается, что государство с каждого человека будет получать:$$T_i = 64\cdot16(1-t)\cdot t$$
При этом $L=50l=50\cdot16(1-t) \Longrightarrow Y = 2\sqrt{800(1-t)}$
$$U_G(t) = 3200(1-t)+51200(1-t)t \rightarrow max$$
Это парабола ветвями вниз, максимум в $t = \cfrac{48000}{2\cdot51200} = \cfrac{288}{1024} = \cfrac{15}{32}$
$$U'_i = 4\sqrt{\cfrac{(1-t)}{l}} - 1 = 0$$
$$U''_i < 0$$
$$l = 16(1 - t)$$
Получается, что государство с каждого человека будет получать:$$T_i = 64\cdot16(1-t)\cdot t$$
При этом $L=50l=50\cdot16(1-t) \Longrightarrow Y = 2\sqrt{800(1-t)}$
$$U_G(t) = 3200(1-t)+51200(1-t)t \rightarrow max$$
Это парабола ветвями вниз, максимум в $t = \cfrac{48000}{2\cdot51200} = \cfrac{288}{1024} = \cfrac{15}{32}$