Калининград?
Господин Из Калининграда потребляет только два товара – видео с котиками ($x$) и булочки ($y$). Каждую неделю на него с неба падает $500$ рублей, которые в конце недели испаряются (если он не успел их потратить). Видео с котиками он покупает у известного московского торговца по цене $10$ рублей за штуку. Но если Господин купит $20$ единиц видео, торговец сделает ему скидку и каждое последующее видео будет ему стоить всего $8$ рублей. Булочки же он покупает в местном магазине по цене $20$ рублей за штуку. Но после покупки $15$ булочки продавец в магазине всегда обижается на Господина, поэтому каждую булочку после $15$ продаёт уже по цене $25$ рублей за штуку. Функция полезности господина задаётся уравнением $U = \sqrt[7]{xy}$. Помогите Господину найти количество потреблённых видео с котиками и булочек, чтобы его полезность была максимальна.
Решение
Вы знаете, какое сейчас время? Время выводить бюджетное ограничение. Макисмум по булочкам: $y = 23 (15 * 20 + 8*25 = 500)$. От точки максимума булочек график идёт с наклоном $0.4$, так как первые видео покупаются по цене 10, а булочки (пока их больше 15) стоят 25, наклон $\frac{10}{25} = 0.4$. Такой наклон, пока $x \leq 20$ и $y \geq 15$. $y = 23 - 0.4x, x \leq 20 y \geq 15$. По удачному стечению обстоятельств, данные ограничения "срабатывают" в один и тот же момент, а значит в бюджетном ограничении будет всего два участка. Второй участок - когда мы покупает дешёвые булочки(так как их меньше 15) и дешёвые видео(их больше 20), наклон бюджетного ограничения $\frac{8}{20} = 0.4$. Второй участок имеет такой же наклон, как и первый, а значит всё бюджетное ограничение задаётся прямой $y = 23 - 0.4x$. Остаётся только подставить выраженный y в функцию полезности и промаксимизировать. Максимизируем только подкоренное выражение, так как корень - монотонно возрастающая функция. $x*y = x*(23-0.4x)$ - парабола ветвями вниз, максимум в вершине при $x = 28.75, y = 11.5$.
PS. Стоит также сказать, что Господин тратит все свои деньги. Почему это верно, писал в пункте а) задачи номер 6.
PS. Стоит также сказать, что Господин тратит все свои деньги. Почему это верно, писал в пункте а) задачи номер 6.