Свойства арифметической и геометрической прогрессий

Формула $n$-ого члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Сумма первых $n$ членов: $$a_1 + a_2 + ... + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2}n = na_1 + \frac{d(n-1)n}{2}$$

Каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим двух членов, находящихся на равном расстоянии от него: $$a_i = \frac{a_{i - 1} + a_{i + 1}}{2} = \frac{a_{i - k} + a_{i + k}}{2}$$

Докажите свойства геометрической прогрессии:

Формула $n$-ого члена: $b_n = b_1 \times q^{n-1}$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии: $$b_1 + b_2 + ... + b_n = b_1\frac{1 - q^n}{1 - q}$$

Если знаменатель прогрессии положителен, то каждый член геометрической прогрессии является средним геометрическим двух членов, находящихся от него на равном расстоянии: $$b_n = \sqrt{b_{n-1}b_{n+1}} = \sqrt{b_{n - k}b_{n + k}}$$