Отдача и эластичность
Продолжение задачи " отдача и средний продукт ". Рассмотрим фирму, технология которой описывается производственной функцией $q(x_1,x_2,...,x_n)$, где $x_i$ — фактор производства с номером $i$ ($1\leqslant i\leqslant n$).
Подпункты
а)
Докажите, что условие возрастания среднего продукта по $i$-ому фактору эквивалентно тому, что выпуск эластичен по этому фактору.
б)
Докажите, что если технология обладает возрастающим средним продуктом по всем факторам, то сумма эластичностей выпуска по всем факторам больше $n$.
в)
Верно ли, что при выполнении условий задачи и пропорциональном увеличении всех факторов в $t > 1$ раз, выпуск растет строго больше, чем в $t^m$ раз, где $m$ - количество факторов, по которым средний продукт является возрастающим?
г)
Пусть технология обладает положительной отдачей от масштаба. Следует ли из этого, что существует хотя бы один фактор, по которому средний продукт возрастает? Если ваш ответ "да", то строго докажите утверждение. Если "нет" - приведите контрпример.
д)
Предположим, фирма максимизирует прибыль на конкурентных рынках продукции и факторов производства, а технология является выпуклой. Цена продукции равна \(p > 0\), а цены факторов составляют \(w_1, w_2, ..., w_n > 0\). Докажите, что в точке оптимума отношение эластичностей выпуска по любым двум факторам равно отношению долей затрат на эти факторы: \[ \frac{\varepsilon_i}{\varepsilon_j} = \frac{w_i x_i}{w_j x_j}, \] где \(\varepsilon_i\) - эластичность выпуска по $i$-ому фактору.
Решение
а) Средний продукт по фактору $i$: \[ AP_i = \frac{q(x_1,x_2,\dots,x_n)}{x_i}. \] Условие возрастания: \[ AP_i' = \bigg(\frac{q(x_1,x_2,\dots,x_n)}{x_i}\bigg)_{x_i}'=\frac{x_i q' - q}{x_i^2}>0 \] Условие $AP_i' > 0$ равносильно: \[ x_i q_{x_i}' - q > 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x_i}{q} \cdot q_{x_i}' > 1. \] Но $\varepsilon_i = q_{x_i}' \cdot \frac{x_i}{q}$ — эластичность выпуска по фактору $i$. Следовательно, $AP_i' > 0$ эквивалентно $\varepsilon_i > 1$. б) Из (а): $\forall i \quad \varepsilon_i > 1$. Суммируем: \[ \sum_{i=1}^n \varepsilon_i > \sum_{i=1}^n 1 = n. \] в) Запишем условие возрастания среднего продукта по каждому фактору: \[ \frac{q(x_1, \dots, tx_i, \dots, x_n)}{tx_i} > \frac{q(x_1, \dots, x_n)}{x_i} \] что эквивалентно: \[ q(x_1, \dots, tx_i, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1, \dots, x_n) \] Будем последовательно увеличивать величину используемого фактора в $t>1$, начиная с 1 и заканчивая $n$-ым фактором. Шаг 1: Увеличиваем \(x_1\) в \(t\) раз: \[ q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n) \] Шаг 2: Увеличиваем \(x_2\) в \(t\) раз (уже при увеличенном \(x_1\)): \[ q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, x_2, x_3, \dots, x_n) \] Но \(q(tx_1, x_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)\) из шага 1, поэтому: \[ q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot (t \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)) = t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n) \] Шаг 3: Увеличиваем \(x_3\) в \(t\) раз: \[ q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) \] Но \(q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)\) из шага 2, поэтому: \[ q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot (t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)) = t^3 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n) \] Продолжая процесс, на шаге \(m\): \[ q(tx_1, \dots, tx_m, x_{m+1}, \dots, x_n) > t^m \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n) \] С учетом неубывания производственной функции: \[ q(tx_1, \dots, tx_m, tx_{m+1}, \dots, tx_n) \geqslant q(tx_1, \dots, tx_m, x_{m+1}, \dots, x_n) \] Получаем искомое неравенство: \[ q(tx_1, \dots, tx_m, tx_{m+1}, \dots, tx_n) > t^m \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n) \] г) Утверждение неверно. Контрпример: $q(x_1, x_2) = x_1^{0.6} x_2^{0.6}$. Производственная функция имеет положительную отдачу от масштаба, так как для любых $t>1$ верно неравенство $(tx_1)^{0.6}(tx_1)^{0.6}>tx_1^{0.6}x_2^{0.6}$. Заметим, что $\varepsilon_1 = 0.6$, $\varepsilon_2 = 0.6$, $\varepsilon_i < 1$ для всех $i$, значит $AP_i$ убывают. д) В задаче минимизации издержек при фиксированном \( q \) условие оптимума — это касание изокванты \( q(x_1,x_2,\dots,x_n) = \text{const} \) и изокосты. Предельная норма технического замещения (MRTS) фактора \( j \) фактором \( i \), равная \[MRTS_{ij} = \frac{MP_{x_i}}{MP_{x_j}}\] Если изокоста описывается равенством \( TC=\sum w_i x_i \), то угол наклона изокосты в координатах $(x_i,x_j)$ равен $w_i/w_j$. В оптимуме наклоны изокванты и изокосты совпадают: \[ \frac{MP_{x_i}}{MP_{x_j}} = \frac{w_i}{w_j}\text{ } \text{ или } \text{ } \frac{q'_{x_i}}{q'_{x_j}} = \frac{w_i}{w_j} \Rightarrow \frac{q'_{x_i}\frac{x_i}{q}}{q'_{x_j}\frac{x_j}{q}} = \frac{w_i\frac{x_i}{q}}{w_j\frac{x_j}{q}} \Rightarrow \frac{\varepsilon_i}{\varepsilon_j} = \frac{w_ix_i}{w_jx_j} \] Что и требовалось доказать. Ответ: на доказательство