144 спроса

1. Заметим, что покупатель будет участвовать в рынке только при условии: $$ q_i^d \geq 0 \quad \Rightarrow \quad i - p \geq 0 \quad \Rightarrow \quad i \geq p $$ Таким образом, при цене $p$ покупатели с $i < p$ не участвуют в рынке ($q^d_i=0$). 2. Совокупный спрос: При целой цене $p$ покупатели с $i = p, p+1, \dots, 144$ формируют спрос: $$ Q^d = \sum_{i=p}^{144} (i - p) $$ Это сумма арифметической прогрессии c количеством членов $m = 144 - p + 1$: $$ Q^d = \sum_{k=0}^{144-p} k = \frac{(144-p)(145-p)}{2} $$ 3. Условие рыночного равновесия: $$ Q^d = Q^s $$ $$ \frac{(144-p)(145-p)}{2} = 26p $$ Умножим обе части на 2: $$ (144-p)(145-p) = 52p $$ Решение квадратного уравнения: $$ p^2 - 341p + 20880 = 0 $$ $$ p_1 = \frac{341 + 181}{2} = \frac{522}{2} = 261 $$ $$ p_2 = \frac{341 - 181}{2} = \frac{160}{2} = 80 $$ 4. Выбор экономически осмысленного корня: При $p = 261$: покупатели участвуют только при $i \geq 261$, но максимальный номер покупателя — 144. Следовательно, спрос равен 0. При $p = 80$: покупатели с $i \geq 80$ участвуют в рынке. Это допустимая цена. 5. Равновесное количество: Подставим $p^* = 80$ в функцию предложения: $$ Q^* = 26 \cdot 80 = 2080 $$ Проверим по функции спроса: $$ Q^d = \frac{(144-80)(145-80)}{2} = \frac{64 \cdot 65}{2} = \frac{4160}{2} = 2080 $$ Ответ: $p=80, Q=2080$ Примечание: В решение мы предположили, что цена целая и так действительно получилось, нам повезло, однако можно решить задачу и без этого предположения.