Правильная формула для уровня безработицы, или удачливый Вася
Как-то Вася решал тест по теме «Безработица». В одном из вопросов, среди прочего, было сказано, что «в стране X работает больше половины населения, 70 % населения является трудоспособным, а каждый пятнадцатый житель страны не имеет работы, но активно ищет ее и готов приступить к работе немедленно». Найти же требовалось уровень безработицы в стране X. Не очень точно зная, что же такое «уровень безработицы», Вася решил найти по имеющимся у него данным долю трудоспособного, но не работающего населения во всем населении страны. Получившееся у него число оказалось среди предлагавшихся вариантов ответа, и, обрадовавшись, Вася смело обвел нужный вариант. Позднее, узнав результаты тестирования, Вася обрадовался еще больше: его ответ был засчитан как правильный! Найдите ответ Васи.
Решение
Пусть $U$ — количество безработных, $E$ — количество занятых, $T$ — количество трудоспособных, $X$ — общее количество жителей страны X. Нам известно, что $X = 15U$ и что $T = 0,7X$. Отсюда находим, что $T = 10,5U$. Вася рассчитывал не уровень безработицы — уровень безработицы в действительности рассчитывается не как $\frac{T-E}{X}$, а как $\frac{U}{U+E}$. Однако, раз ответ Васи был засчитан как верный, для страны X величины этих дробей по случайности совпали, что дает нам еще одно условие: $$\frac{{T - E}}{X} = \frac{U}{{U + E}}$$ Преобразуя, получаем квадратное уравнение относительно $E$: $${E^2} - E(T - U) + U(X - T) = 0$$ Разделим обе части на $U^2$: $${\left( {\frac{E}{U}} \right)^2} - \frac{E}{U}\left( {\frac{T}{U} - 1} \right) + \left( {\frac{X}{U} - \frac{T}{U}} \right) = 0$$ Обозначив $\frac{E}{U} = e$ и подставив в уравнение известные величины $\frac{X}{U} = 15$, $\frac{T}{U}=10{,}5$, получаем окончательное уравнение: $$e^2-9{,}5e+4{,}5=0$$ Это уравнение имеет два корня: $e=0{,}5$ и $e=9$. Если $e=0{,}5$, то $\frac{E}{X}=\frac{1}{30}$, что противоречит условию о том, что в стране работает больше половины населения. Если $e=9$, то $\frac{E}{X}=\frac{3}{5}$, что согласуется с условием. $\frac{E}{U} = 9$, и значит, уровень безработицы равен 10%. Ответ: (Васи) 10%.