Сезонный продукт
Зимой спрос и предложение на городском рынке пирожков с голубикой задаются, соответственно, функциями $Q_d(P)=100-P$ и $Q_{W}(P)=3P$. Летом предложение пирожков падает до $Q_{S_1}(P)=P$, потому что голубика растёт только в холодном климате. Но локальные производители освоили новую технологию выращивания голубики летом, поэтому предложение с недавних пор падает лишь до $Q_{S_2}(P)=2P$. Новая технология не понравилась государству, поэтому её запретили. Но столь важный рынок, решило государство, не должен оставаться без внимания. Оно решило повысить спрос на рынке до $Q_g(P)=2a+Q_d(P)$, причём при этом тратится $a^2$ денежных единиц из бюджета.
Подпункты
а)
(5 баллов) Определите изначальные равновесные цену и количество на рынке пирожков с голубикой зимой и летом до появления новой технологии.
б)
(3 балла) Какие цена и количество складывались бы на рынке летом, если бы государство не запрещало новую технологию?
в)
(15 баллов) Определите оптимальное значение $a$, если государство хочет максимизировать общественное благосостояние, которое включает в себя благосостояние потребителей, производителей и самого государства.
г)
(7 баллов) Получится ли у государства достичь того же уровня общественного благосостояния, как в случае, если бы оно не запрещало новую технологию выращивания голубики?
Решение
Зимой спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение: $Q^s = 3P$. Равновесию соответствует точка пересечения кривых спроса и предложение. Аналитически нам нужно просто приравнять их уравнения: $100 - P = 3P \Rightarrow P^*_w = 25,~ Q^*_w = 100 - 25 = 75$. Летом спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение до появления новой технологии имеет вид $Q^s = P$. Тогда равновесие: $100 - P = P \Rightarrow P^*_{s_1} = 50,~ Q^*_{s_1} = 50$. С появлением новой технологии до вмешательства государства предложение имело вид: $Q^s = 2P$. Тогда равновесие: $100 - P = 2P \Rightarrow P^*_{s_2} = \frac{100}{3},~ Q^*_{s_2} = \frac{200}{3}$. Первый вариант решения: Условие можно было понять так, что государство своими закупками увеличивает спрос на $2a$ при каждом значении цены. Тогда спрос будет иметь вид $Q^d = 100 + 2a - P$, а предложение – $Q^s = P$. Равновесие на этом рынке: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = 50 + a,~ Q^* = 50 + a$. Изобразим спрос и предложение на графике: Общественное благосостояние – это сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства. Графически излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек производителей – площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене. Излишек государства в данном случае это просто его расходы, то есть $-a^2$. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (a + 50)(2a + 100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) -a^2 = a^2 + 100a + 2500 - a^2 = 100a + 2500$. Видно, что общественное благосостояние возрастает по $a$, а значит, если государство старается максимизировать общественное благосостояние, то будет выбирать как можно большее значение $a$. Поскольку $a$ никак не ограничено, оптимальный выбор государства: $a \rightarrow +\infty$. Второй вариант решения: На самом деле государство не может увеличить спрос на константу при любом значении цены. Если цена поднимется выше максимальной цены, которую готовы платить потребители (в нашем случае это $100$), то спрос будет предъявлять только государство на уровне $2a$, т.е. при $P > 100$ мы будет иметь вертикальный участок спроса $Q = 2a$. При этом равновесие у нас будут при: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = a+50,~ Q^* = a + 50$. В этом случае общественное благосостояние – это всё ещё сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства, однако графически они будут считаться немного иначе. Изобразим спрос и предложение на графике: Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике: Зелёным цветом заштрихован треугольник, соответствующий излишку потребителей, красным цветом – треугольник, соответствующий излишку производителей. Излишек государства составляет $-a^2$. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (50 - a)(100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) - a^2 = 2500$. В этом случае общественное благосостояние постоянно и равно $2500$. Однако, если государство закупит достаточно много пирожков с голубикой, цена вырастет настолько, что потребители больше не будут покупать этот товар. Графически эта ситуация выглядит так: Произойдёт это в том случае, если закупки государства, то есть $2a$ превысят $100$, т.е. при $a > 50$. В этом случае равновесие складывается при $P^* = 2a,~ Q^* = 2a$. Излишек потребителей в этом случае равен $0$, поскольку они не покупают пирожки с голубкой совсем, а излишек производителей будет равен $0,5 \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$. Тогда общественное благосостояние имеет вид: $SW = 2a^2 - a^2 = a^2$. Видно, что при любом положительном $a$ общественное благосостояние бесконечно возрастает с ростом $a$. Поскольку государство стремится сделать общественное благосостояние как можно выше, оно выберет бесконечно большое $a$ и, соответственно, бесконечно большое общественное благосостояние. Если бы государство не запрещало новую технологию, то общественное благосостояние составило бы: $SW = 0,5\cdot \frac{200}{3}(100 - \frac{100}{3}) + 0,5\cdot \frac{200}{3} \cdot \frac{100}{3} = \frac{10000}{3}$. В случае запрета технологии, но наличия государственных закупок, общественное благосостояние стремится к бесконечности. Таким образом, государству удалось значительно увеличить общественное благосостояние.