Задача 2 ОЧ-2015 (10 класс)
Рассмотрим классическую дилемму современного человека: с одной стороны – поддержание физической формы на определенном уровне, а с другой – удовольствие от потребления торта. Пусть уровень физической формы Антона зависит положительно от количества часов, проведенных в спортзале (переменная x), и отрицательно – от единиц съеденного тортика (переменная y): $F(x,y)=x^{2}-xy-y^{2}+73$. Антон точно уверен, что он не проведёт в спортзале больше $3$ часов. Однако Антон желает, чтобы при любом времени, проведенном в спортзале и удовлетворяющем вышеописанным условиям, уровень его физической формы не падал ниже $9$ условных единиц. Определите максимально возможное при этом количество единиц потребленных тортиков. В задании не предполагается целочисленность переменных.
Решение
Переформулируем задачу в виде математической модели. От нас требуется найти максимальное значение y, при котором $F(x,y)$ будет $\ge 9$ при любом $x\le 3$. Сразу заметим, что наши переменные принимают только неотрицательные значения. Рассмотрим функцию $f(x)=x^{2}−xy−y^{2}+73−9=x^{2}−xy−y^{2}+64$. Найдем y, при которых эта функция будет $\ge 0$ при любом $x\le 3$. Для этого нужно рассмотреть 3 случая. Во-первых, решить систему (это случай, когда x не меньше 3): $$
\begin{cases} f(3)\ge 0\\ x_{\text{вершины}} \ge 3 \\ \end{cases}
$$ Решение системы : $\left[6;\dfrac{\sqrt{301}-3}{2}\right]$ Во-вторых, рассматриваемая $f(x)$ будет неотрицательной при условии $D \le 0:$ $$D=y^{2}−4(64−y^{2})=5y^{2}−256\le 0$$ $$y \in \left[−\dfrac{16}{\sqrt{5}};\dfrac{16}{\sqrt{5}}\right]$$ В-третьих, нерассмотренным остается случай, когда x меньше 3: единственное подходящее в этом случае значение – 0. Тогда $y \in [−8;8]$ Объединяя три наших случая и учитывая неотрицательность, получаем $y\in [0;8]$. Тогда наибольшее количество единиц тортика, которое может потребить Антон при заданных условиях, равно 8. Ответ: 8 единиц.
\begin{cases} f(3)\ge 0\\ x_{\text{вершины}} \ge 3 \\ \end{cases}
$$ Решение системы : $\left[6;\dfrac{\sqrt{301}-3}{2}\right]$ Во-вторых, рассматриваемая $f(x)$ будет неотрицательной при условии $D \le 0:$ $$D=y^{2}−4(64−y^{2})=5y^{2}−256\le 0$$ $$y \in \left[−\dfrac{16}{\sqrt{5}};\dfrac{16}{\sqrt{5}}\right]$$ В-третьих, нерассмотренным остается случай, когда x меньше 3: единственное подходящее в этом случае значение – 0. Тогда $y \in [−8;8]$ Объединяя три наших случая и учитывая неотрицательность, получаем $y\in [0;8]$. Тогда наибольшее количество единиц тортика, которое может потребить Антон при заданных условиях, равно 8. Ответ: 8 единиц.