Рэперская
Два известных рэпера совместно проводят концерты и выпускают альбомы. Используя арендованную студию весь год, рэпер MC Икс может записать не более 20-ти альбомов или подготовиться максимум к 10-ти концертам. Если ту же самую студию весь год будет использовать рэпер МС Игрек, он сможет записать не более 10-ти альбомов или подготовиться максимум к 15-ти концертам (рэперы могут совмещать два вида деятельности, а альтернативные издержки одного концерта для каждого из них являются постоянными). Известно, что в каждый момент времени студией может пользоваться только один из рэперов, а другую подходящую студию они найти точно не смогут. Для принятия решения о совместной деятельности рэперам необходимо представлять, какими будут их производственные возможности в течение года аренды студии. Выведите функцию, описывающую совместную КПВ MC Икса и MC Игрека, если для работы им нужно одинаковое оборудование.
Ответ
$K=15-\dfrac{3}{4}A,\quad 0\le A\le 20$.
Решение
Построим КПВ каждого рэпера: Оценим альтернативные издержки подготовки единицы концерта каждым из рэперов: \[\begin{array}{l} X: OC(1K)=2(A) \\ Y: OC(1K)=\dfrac{2}{3}(A) \\ \textbf{(1 балл за построение КПВ и вычисление альтернативных издержек)}\end{array}\] Заметим, что для организации деятельности им необходимо использовать общий ресурс – арендованную студию, поэтому «объединять» их производственные возможности недопустимо (2 балла за данную мысль) Очевидно, что при эффективном разделении труда MC Икс должен записывать альбомы, а МС Игрек – проводить концерты, так как альтернативные издержки проведения концертов ниже у МС Игрека (или с учётом его производственных возможностей) (1 балл за сравнение альтернативных издержек и определение специализации). Тогда максимальное количество концертов, которое может быть организовано ими совместно, совпадает с максимальным количеством концертов МС Игрека (15), если студией весь год будет пользоваться Игрек. А максимальное количество альбомов – с максимальным количеством альбомов МС Икса (20), если студией весь год будет пользоваться Игрек (1 балл за определение максимальных объемов производства благ). Поскольку оборудование на студии может использоваться как одним из них, так и другим, рассмотрим вариант деления оборудования. Пусть $t$ – часть года, в течение которого МС Икс использует студию. Тогда за это время он сможет выпустить $20t$ альбомов. Тогда МС Игрек будет использовать студию $(1–t)$ часть года и сможет провести $15(1–t)$ концертов (1 балл). Имеем систему: \[\begin{cases} A=20t \\ K=15(1-t) \\ 0\leq t \leq 1 \end{cases} \quad \textbf{(3 балла за составление системы)}\] Выразим $t$ из первого уравнения и подставим его во второе: \[\begin{cases} t=\dfrac{1}{20}A \\ K=15-\dfrac{3}{4}A \\ 0\leq A \leq 20 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла за решение системы и ответ)}\] Ответ: $K=15-\dfrac{3}{4}A, \quad 0\leq A\leq20$