Коэффицент Джини и рокировка
В некоторой стране есть две равные по численности, но неравные по доходу группы населения, внутри каждой из которых доходы распределены равномерно. В ходе последнего глобального кризиса доходы одной из групп сократились на 19%, а доходы другой – на 64%, однако коэффициент Джини не изменился. Определите значение этого коэффициента.
Решение
Обозначим докризисный доход первоначально более бедной группы за $a_0$, а докризисный доход первоначально более богатой группы – за $b_0$. Предположим, что $a_0>0$. Если бы доход бедных снизился в относительном выражении сильнее, чем доход богатых, то неравенство в стране только усилилось бы, а по условию оно не изменилось. Значит, доход богатых снизился сильнее дохода бедных, то есть доход богатых снизился на 64%, а доход бедных – на 19%: $a_1=0,81a_0$ и $b_1=0,36b_0$. Но осталась ли при этом более богатая группа более богатой? Если бы это было так, то, раз доход богатых снизился сильнее, чем доход бедных, неравенство в стране уменьшилось бы, а по условию оно опять-таки не изменилось. Остается единственная возможность: при непропорциональном снижении доходов группы «поменялись местами», первоначально более богатая группа стала более бедной, а первоначально более бедная – более богатой, и при этом степень неравенства в обществе не изменилась. Нетрудно доказать, что в случае двух групп населения и равномерного распределения доходов внутри каждой группы коэффициент Джини можно рассчитать по формуле $G=x-y$, где $x$ – доля более бедной группы в населении страны, $y$ - ее доля в общем доходе. В нашем случае как до «рокировки», так и после $x=0,5$. До кризиса коэффициент Джини равнялся ${G_0} = 0,5 - \frac{{{a_0}}}{{{a_0} + {b_0}}}$, а после кризиса - ${G_1} = 0,5 - \frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}}$. ${G_0} = {G_1}$ $\frac{{{a_0}}}{{{a_0} + {b_0}}} = \frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}} = \frac{{0,36{b_0}}}{{0,81{a_0} + 0,36{b_0}}}$ $0,36b_0^2 = 0,81a_0^2$ ${\left( {\frac{{{a_0}}}{{{b_0}}}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {b_0} = 1,5{a_0}$ ${G_1} = {G_0} = 0,5 - \frac{{{a_0}}}{{{a_0} + 1,5{a_0}}} = 0,1$. Ответ: 0,1. Примечание: В этом решении предполагается, что доход каждой из групп строго больше нуля. Если допустить возможность нулевых доходов, то формально под условие может подходить еще и ситуация, когда доход бедных все время равен нулю, рокировки не происходит, а коэффициент Джини равен 0,5. Однако трудно представить себе фразу "доход сократился на $x\%$", сказанную о доходе, равном нулю.