Рациональная аренда — 2
Молодой преподаватель экономики снимает квартиру в городе N. В начале каждого месяца он платит за аренду 26 000 руб., снимая деньги со своего счета в банке. Ежемесячно на сумму остатка на счете банк начисляет 1 %. Придя в начале очередного месяца за деньгами, хозяин квартиры предложил молодому экономисту следующую «сделку»: если сейчас арендная плата будет внесена сразу за $k>1$ месяцев, то арендная плата за каждый из этих месяцев составит 25 000 руб. Значение $k$ определяет сам арендатор. Стоит ли экономисту соглашаться на это предложение? Если да, то каково оптимальное для него значение $k$? При решении учитывайте, что до окончания договора аренды остается ровно год, и преподаватель, принимая решение, максимизирует сумму, которая останется у него на счете на эту дату. Кроме того, предполагайте, что сумма, которая имеется на счету у арендатора, достаточно велика: ее хватит для оплаты аренды в течение года при любом выбранном варианте.
Решение
Обозначим за $S_k$ сумму, которая будет на счете через год, если арендатор заплатит за $k$ месяцев вперед. (Заметим, что случай $k=0$ соответствует отказу от предложения.) $${S_k} = (X - 25000k) \cdot {1{,}01^{12}} - 26000 \cdot {1{,}01^{12 - k}} - ... - 26000 \cdot 1{,}01.$$ Рассмотрим выражение ${S_{k + 1}} - {S_k}$. Если это выражение больше 0 для некого $k$, то это $k$ не оптимально для арендатора: выгоднее выбрать значение на единицу больше. $${S_{k + 1}} - {S_k} = \ldots = 26000 \cdot {1{,}01^{12 - k}} - 25000 \cdot {1{,}01^{12}} = {1{,}01^{12 - k}} \cdot 1000 \cdot (26 - 25 \cdot {1{,}01^k})$$ (Заметим, что для нахождения этой разницы нам не пришлось считать сумму прогрессии, при вычитании множество одинаковых слагаемых сократились). Эта разность положительна при маленьких $k$, так что соглашаться на предложение лучше, чем не соглашаться. К тому же, она убывает по $k$, следовательно, если $k^*$ — наибольшее $k$, при котором она положительна, то оптимальным будет $k^*+1$. Заметим, что ${S_4} - {S_3} > 0$, так как $25000 \cdot {1{,}01^3} = 25000 \cdot 1{,}030301 < 25000 \cdot 1{,}031 = 25775 < 26000$. С другой стороны, $1{,}01^4>1{,}04$, а значит, $25000 \cdot {1{,}01^4} > 25000 \cdot 1{,}04 = 26000$, и поэтому ${S_5} - {S_4} < 0$. Значит, оптимальным является $k=4$. Ответ: Предложение выгодно; оптимально оплатить аренду сразу за четыре месяца