Оптимум монополии при наличии запасов
Спрос на продукцию фирмы-монополиста описывается уравнением $Q_d=20-P$. На данный момент на складах фирмы уже имеется $q_0$ единиц продукции, а производство дополнительного её количества будет сопровождаться для фирмы издержками $TC(Q)=Q^2$, где $Q$ – объём дополнительного выпуска.
Подпункты
а)
Определите оптимальный для фирмы объём продаж при $q_0=6$; $q_0=14$.
б)
Пусть теперь $q_0=14$, но продукция эта быстро портится, и если она не будет продана до конца периода, то фирма понесёт издержки в размере 4 на ликвидацию каждой из оставшихся на складе единиц. Найдите оптимальный объём продаж в этом случае.
Решение
1) Пусть $Q$ – объём продаж. Первые $q_0$ единиц достаются фирме бесплатно, а оставшиеся $Q-q_0$ допроизводятся за плату, равную $(Q-q_0)^2$, и поэтому функция предельных издержек имеет вид $$MC =\begin{cases}0, & \text{если } Q<q_0; \\ 2(Q-q_0), & \text{если } Q>q_0.\end{cases}$$ Предельный доход имеет, независимо от $q_0$, вид $MR(Q)=20-2Q$. При $q_0=6$ равенство предельного дохода и предельных издержек достигается при $Q^{\star}=8$: фирма продаст все имеющиеся шесть единиц и ещё допроизведёт две. При $q_0=14$ предельный доход равен предельным издержкам при $Q^{\star}=10$: это точка максимума выручки, поэтому фирме не имеет смысла продавать все 14 единиц и тем более допроизводить что-то ещё. 2) Теперь фирма может продать первые 14 единиц не просто с нулевыми издержками – эти издержки отрицательны, так как, продавая лежащую на складе продукцию, фирма экономит на издержках её последующей ликвидации. А именно, с каждой проданной единицей продукции, входящей в эти 14, фирма получает дополнительную выгоду в виде четырёх сэкономленных денежных единиц. Значит, функция предельных издержек имеет вид $$MC =\begin{cases}-4, & \text{если } Q<14; \\ 2(Q-14), & \text{если } Q>14.\end{cases}$$ Вновь приравнивая $MR$ и $MC$, получаем, что $Q^{\star}=12$. Таким образом, по сравнению с пунктом 1) оптимальный объём продаж увеличился, что интуитивно ясно: наличие издержек ликвидации побуждает фирму продавать больше. Ответ: 1) при $q_0=6$ оптимальный объём продаж равен 8; при $q_0=14$ оптимальный объём продаж равен 10. 2) $Q^{\star}=12$.