Немного про Джини
В фирме «Равенство и Братство» есть только две группы работников: менеджеры и аналитики. Внутри группы каждому работнику выплачивается одинаковая заработная плата, причём зарплата аналитиков более низкая. Коэффициент Джини, характеризующий неравенство оплаты труда, в фирме «Равенство и Братство» равен $0{,}3$. В конкурирующей фирме «Рога и Копыта» структура персонала и оплаты труда аналогична, однако коэффициент Джини равен $0{,}5$. (Примечание: коэффициент Джини измерен в долях, то есть максимальное значение коэффициента Джини по используемой шкале равно 1). Фонд оплаты труда в обеих фирмах одинаковый и составляет 1 млн. руб. Известно, что зарплата менеджеров фирмы «Рога и Копыта» в 1,5 раза выше зарплаты менеджеров фирмы «Равенство и Братство». При этом доля аналитиков в обеих фирмах совпадает. Какова доля аналитиков в общем количестве персонала в фирмах?
Ответ
0,9.
Решение
Условие про 1 млн. руб. лишнее. В случае, когда есть две однородные группы, кривая Лоренца выглядит так: Сначала поясним, как найти индекс Джини, зная долю доходов бедных и долю их численности. Площадь под кривой Лоренца равна: \[\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{y+1}{2}\cdot (1-x)=\dfrac{1}{2}(y-x+1)\] Площадь между кривой равномерного распределения доходов и кривой Лоренца: \[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}(y-x+1)=\dfrac{1}{2}(x-y)\] Таким образом, индекс Джини равен: $G=\dfrac{\dfrac{1}{2}(x-y)}{\dfrac{1}{2}}=x-y$ $G=x-y$, где $x$ – доля бедных (в этом случае доля аналитиков), а $y$ – это доля фонда оплаты труда, приходящаяся на аналитиков (4 балла за соотношение). Фирму «Равенство и Братство» обозначим индексом 1, а «Рога и Копыта» – индексом 2. Можем записать следующие уравнения: \[\begin{array}{l} 1-y_2=1{,}5\cdot(1-y_1) \\ y_2=1{,}5y_1-0{,}5 \quad \textbf{(3 балла)}\end{array}\] Также известно, что $G_1=x-y_1, G_2=x-y_2$ Решая, получаем, что $x=3G_1-2G_2+1=3\cdot0{,}3-2\cdot0{,}5+1=0{,}9 \quad \textbf{(4 балла)}$ Ответ: 0,9