Утилизация
В стране N , разделенной на регионы W и E , введены суровые таможенные правила относительно ввоза на ее территорию продуктов питания. Если кто-то пытается ввезти продукты незаконно, то весь контрафакт изымается и уничтожается по одной из двух технологий. Будем считать, что вся еда, импортируемая в эту страну, делится на два типа — сыр пармезан и персики. В регионе W незаконно ввезенную еду раскатывают бульдозерами. Бульдозеры имеются в неограниченном количестве, а трудовых ресурсов есть только 35 единиц. Если нанять единицу труда, то можно раздавить тонну незаконного пармезана или тонну незаконных персиков. Однако с ростом количества нанятого труда приобретаются знания и накапливается опыт (ранее уничтожением еды никто не занимался), и все единицы труда сверх 10-й, занятые в раздавливании пармезана, могут раскатать уже не 1, а целых 2 тонны сыра. То же самое и с персиками: первые 10 единиц труда будут раскатывать по 1 тонне персиков, а все следующие — по 2 тонны. В регионе E незаконно ввезенную еду сжигают на кострах. Так же, как и в регионе W , костров хватит на любое количество продуктов, а труд в этом регионе ограничен 15 единицами. Если нанять единицу труда, то можно сжечь 2 тонны пармезана или 2 тонны персиков. Повышения квалификации во регионе E не происходит, поскольку роль труда в процессе сжигания невелика. Продукты можно перевозить между регионами без затрат ресурсов, а ни миграции рабочей силы, ни перемещения технологий не происходит. Назовем кривой утилизационных возможностей (КУВ) множество точек в координатах (сыр; персики), ограничивающих доступные наборы из уничтоженных продуктов. Постройте суммарную КУВ страны.
Решение
Запишем производственные (или утилизационные) функции в регионе W . \[x=\begin{cases} L_x, & \text{если } 0\le L_x\le 10, \\ 2L_x-10, & \text{если } 10 < L_x\le 35. \end{cases} \qquad\qquad y=\begin{cases} L_y, & \text{если } 0\le L_y\le 10, \\ 2L_y-10, & \text{если } 10< L_y\le 35. \end{cases}\] Одновременно $L_x\le 10$ и $L_y\le 10$ не может быть, так как в этом регионе $L=35$. Поэтому рассматриваем три случая: $L_x\le 10$, $L_y > 10$. Тогда $x=L_x$ и $y=2L_y-10$. Поскольку $L_x+L_y=35$, получаем ограничение: $x+0,5y+5=35$, или $y=60-2x$. КУВ региона будет иметь такой вид при $x\le 10$. $L_y\le 10$, $L_x> 10$. Тогда $x=2L_x-10$ и $y=L_y$. Получаем ограничение: $y+0,5x+5=35$, или $y=30-0,5x$. КУВ региона будет иметь такой вид при $y\le 10$. $L_x\ge 10$, $L_y\ge 10$. Тогда $x=2L_x-10$ и $y=2L_y-10$. Получаем ограничение $0,5x+5+0,5y+5=35$, $y=50-x$. КУВ региона будет иметь такой вид при $x>10$ и $y>10$. Получаем уравнение КУВ первого региона: \[y_1=\begin{cases} 60-2x_1, & \text{если }0\le x_1\le 10, \\ 50-x_1, & \text{если }10< x_1 < 40, \\ 30-0,5x_1, & \text{если }40\le x_1\le 60. \end{cases} \] В регионе E стандартный случай: $x_2=2L_x$, $y_2=2L_y$, при ограничении $L_x+L_y=15$ получаем $y_2=30-x_2$. Допустим, всего страна хотела бы утилизировать $X$ единиц сыра. Для построения общей КУВ нам надо определить, как распределить утилизацию $X$ единиц между регионами так, чтобы общее количество утилизированного $Y$ было максимально. Эту задачу можно решить аналитически <<в лоб>>, однако такой способ решения достаточно трудоемок. Следующее соображение позволяет значительно упростить решение. Возьмем некое распределение $X=x_1+x_2$, в котором $x_1>0$, $x_2>0$ и посчитаем объемы утилизации персиков, исходя из полученных выше КУВ регионов; получим четыре числа $(x_1,y_1,x_2,y_2)$. Рассчитаем также альтернативные издержки утилизации персиков в двух регионах в точках $x_1$ и $x_2$. Назовем их $OC_1$ и $OC_2$. Если $OC_1\leqslant OC_2$, начнем перекидывать утилизацию сыра из второго региона в первый, пока это возможно. Поскольку альтернативные издержки в первом регионе не возрастают (КУВ выпукла вниз), а во втором регионе они постоянны, общий объем утилизации персиков будет возрастать (возможно, не строго); это будет происходить, пока мы не упремся в границу $x_2=0$ или $y_1=0$. Аналогично, если $OC_1> OC_2$, начнем перекидывать утилизацию сыра из первого региона во второй, пока это возможно. И вновь, в силу того, какую форму имеют КУВ регионов, общий объем утилизации персиков будет возрастать; это будет происходить, пока мы не упремся в границу $x_1=0$ или $y_2=0$. Таким образом, в оптимуме\footnote{Строго говоря, \emph{в хотя бы одном} из оптимумов, так как оптимальное распределение сыра между регионами может быть не единственным. Поскольку нас интересует лишь максимальное \emph{значение} $y_1+y_2$, нам достаточно найти хотя бы один оптимум.} хотя бы одно из четырех чисел $(x_1,y_1,x_2,y_2)$ равно нулю. Иными словами, мы доказали, что в оптимуме какой-то регион всегда утилизирует лишь один вид еды. (Для этого было существенно, что альтернативные издержки производства в обоих регионах нестрого убывают!) Это значит, что для построения суммарной КУВ достаточно построить множество точек $(X,Y)$, которые получаются, если один из регионов находится в крайней точке своей КУВ. Для этого: возьмем КУВ первого региона и перенесем параллельно вверх на 30 (второй регион утилизирует только персики); возьмем КУВ первого региона и перенесем параллельно вправо на 30 (второй регион утилизирует только сыр); возьмем КУВ второго региона и перенесем параллельно вверх на 60 (первый регион утилизирует только персики); возьмем КУВ второго региона и параллельно перенести вправо на 60 (первый регион утилизирует только сыр); возьмем объединение всех получившихся множеств (включим также все точки с меньшими объемами утилизации). Получившееся множество и есть множество доступных наборов. Ломаная, являюшаяся его границей (не включая оси), как раз и будет являться искомой кривой утилизационных возможностей. Она изображена на рисунке внизу. Факультативно можно вывести уравнение этой кривой: \[y=\begin{cases} 90-x, & \text{если } 0\le x\le 30, \\ 120-2x, & \text{если } 30\le x\le 40, \\ 60-0,5x, & \text{если } 40\le x\le 60, \\ 90-x, & \text{если } 60\le x\le 90. \end{cases} \]