Болты и Гайки

Заметим, что старые принтеры обладают перед новыми сравнительным преимуществом в производстве гаек, а новые перед старыми — в производстве болтов. Следовательно, при выборе оптимальной комбинации нужно по возможности произвести все болты на новых принтерах, а гайки — на старых. а) В этом случае мы можем выбрать любое количество старых ($X$) и новых ($Y$) принтеров при условии, что $X+Y=100$. Если количество принтеров будет неравным, то какой-то из принтеров придется испрользовать «не по назначению». Но тогда обмен этих принтеров на новые (или отказ от обмена, если новых больше) позволит увеличить количество комплектов. Значит, нужно поменять 50 старых принтеров на новые и произвести 100 комплектов. б) Совершая обмен двух старых принтеров на предложенных условиях, мы отказываемся от возможности производить 2 болта и 4 гайки и получаем возможность производить 2 болта и 1 гайку. Видно, что максимальное количество комплектов не увеличится в любом случае, и если совершить такой обмен с принтерами, задействованными ранее в производстве болтов, то не изменится. Сколько принтеров использовалось для производства болтов до обмена? Если $b$ — количество болтов, а $g$ — количество гаек, то КПВ имела вид $2b+g=200$, решая это вместе с условием $g=b$, получаем $g=b=66\frac{2}{3}$. Поскольку принтеры являются дискретными, можно произвести 66 комплектов (использовав 66 принтеров для производства гаек и 33 принтера для производства болтов). Получаем, что при новых условиях можно обменять любое количество старых принтеров от 0 до 66 (количество комплектов при этом не изменится). в) Совершая обмен двух старых принтеров на предложенных условиях, мы отказываемся от возможности производить 1 болта и 2 гайки и получаем возможность производить 4 болта и 2 гайки. Допустим, что мы поменяем все 100 принтеров. Тогда КПВ будет иметь вид $g+2b=400$. Подставляя $g=b$, получаем $g=b=133 \frac13$ — максимально возможное количество комплектов, которое можно было бы произвести при бесконечной делимости принтеров. Однако принтеры являются дискретными, так что можно произвести не более 133 комплектов (задействовав 133 принтера в производстве гаек и 67 — в производстве болтов). Вместо использования 133 новых принтеров в производстве гаек, можно использовать любое количество старых принтеров от 0 до 66 и недостающее количество новых. В итоге, стране нужно поменять на новые от 34 до 100 принтеров. Критерии а) (5 баллов) 5 баллов ставится за полное объяснение «разделения труда» между принтерами в терминах сравнительных преимуществ, альтернативных издержек, приводящее к правильному выводу о необходимости поменять 50 принтеров. Если просто описано, что будет при обмене 50 принтеров, без обоснования того, почему это именно максимальное количество комплектов, ставится 2 балла. б) (10 баллов) 10 баллов ставится за полное решение. 5 баллов ставится, если в решении указан любой из наилучших вариантов с описанием (либо через неравенства, либо через графики, как меняется КПВ), как получить правильное максимальное число комплектов и почему нужно делать именно так. 2 балла ставится за любой из наилучших вариантов без объяснения, почему он наилучший, и правильно посчитанное максимальное количество комплектов. Просто за ответ баллы не ставятся. в) (10 баллов) Аналогично пункту б).