Вторая ветка

В любом пункте задачи, если при максимизации функции точка максимума была найдена, но не была обоснована, оценка снижалась на 1 балл, но не больше чем на 2 балла в сумме за всю задачу. Отметим, что приравнивание частных производных к нулю не являлось достаточным обоснованием, поскольку доказательство максимума этим методом требует более сложных математических выкладок, как правило не изучаемых в школьной программе. (а) (6 баллов) Прибыль инвестора можно записать как функцию от двух аргументов, например, цены и длины тоннеля (1 балл за постановку задачи): \[ \pi(p,N)=p \left(6-\cfrac{p}{2N} \right)-N^2-3N \rightarrow \max_{p,\, N \ge 0}\] Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно цены, вершина в точке $p^*=6N$. Сразу можно заметить, что $q^*=3$ ( 2 балла за одну из переменных). Теперь можно записать прибыль как функцию уже одного аргумента: \[ \pi(N)=6N\cdot 3-N^2-3N=15N-N^2 \rightarrow \max_{N\ge 0} \] Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $N^*=7,5$ ( 2 балла ещё за одну переменную), значит, $p^*=6N^*=45$ ( 1 балл за оставшуюся переменную). (б) (5 баллов) Без субсидирования обратная функция спроса имела вид $p=2N(6-q)$, при субсидировании будет $p=2N(6-q)+s$. Задача максимизации прибыли в отсутствие возможности достраивать тоннель фактически становится равносильна задаче максимизации выручки: \[ \pi(q,N)=(2N(6-q)+s)q-78,75 \rightarrow \max_{0\le q\le 6 \\ 0\le N\le 7,5}⁡ \] Заметим, что эта функция является линейно возрастающей относительно длины тоннеля, коэффициент при $N$ положителен (так как по условию нельзя добиться пассажиропотока выше 6 сотен млн чел.), значит, однажды построив тоннель заданной длины, монополист всегда будет использовать его полностью: $N=7,5$ ( 2 балла за идею). Тогда прибыль можно записать как \[ \pi (q)=(15(6-q)+s)q-78,75=(90+s)q-15q^2-78,75 \rightarrow \max_{0\le q\le 6} \] Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $q^*=3+s/30$ ( 2 балла за оптимум монополиста). Мэрия хочет, чтобы $q^*=4,5$, то есть $3+s/30=4,5$, откуда $s=45$. Расходы бюджета составят $S=sq=45 \cdot 4,5=202,5$ ( 1 балл за расчёты). Распространённой ошибкой являлась идея о том, что после введения субсидии монополист будет выбирать такой пассажиропоток, что новая цена будет равняться разности цены без вмешательства (45 д.е.) и субсидии. Это неверно для монополиста. Другой ошибкой была идея о том, что монополисту достаточно такой субсидии, что с её учетом при пассажиропотоке 4,5 сотен млн чел. его прибыль не уменьшилась бы по сравнению с прибылью из предыдущего пункта (т.е. без вмешательства). Это тоже неверно, поскольку при введении такой субсидии монополист выбрал бы иное значение выпуска, а не 4,5, что можно увидеть из результата максимизации прибыли. В обоих случаях за нахождение субсидии выставлялось 0 баллов . (в) (6 баллов) Запишем функцию прибыли от числа пассажиров и длины метро в том случае, если инвестор решает достроить тоннель: \[ \pi(q,N)=(2N(6-q)+s)q-N^2-3N=12Nq-2Nq^2+sq-N^2-3N=(12q-2q^2-3)N-N^2+sq \rightarrow \max_{0\le q\le 6 \\ N\ge 7,5} \] Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно длины линии, вершина в точке (2 балла) \[ N^*=6q-q^2-1,5 \] Максимум этого выражения достигается в точке $q=3$ – в вершине параболы с ветвями вниз. Само максимально возможное значение выражения составляет 7,5 – ровно столько, сколько было в пункте (а). Другими словами, какую бы субсидию ни дала мэрия монополисту (и какое бы $q$ вследствие этого ни выбрал монополист), всегда $N^* \le 7,5$, что не принадлежит области $N>7,5$ (4 балла). Поэтому инвестору не может быть выгодно увеличивать длину метро. Заметим, что тот факт, что ставка субсидии не входит в уравнение оптимального напрямую, не является верным обоснованием, так как $N^*$ зависит от $q$, а $q$ может зависеть от ставки субсидии. Если в работе было предположено, что субсидия остается на уровне 45, оценка за пункт снижалась на 1 балл . В случае предположения, что государство будет стремиться установить $q=4,5$, пункт считался решенным неверно, и за него выставлялось 0 баллов . (г) (3 балла) Без субсидирования при длине линии $N=7,5$ и количестве пассажиров $q=4,5$ цена будет равна $p=2N(6-q)=2\cdot 7,5(6-4,5)=22,5$. Выручка монополиста $p\cdot q=101,25$ (1 балл) . Без вмешательства в условиях пункта (а) $p\cdot q=135$ (1 балл) , т.е. выручка снизилась на 33,75 – для монополиста достаточно будет такой компенсации (1 балл) . Расходы на субсидирование – 202,5, поэтому для городского бюджета действительно будет предпочтительнее установить цену самостоятельно в обмен на аккордную выплату.