Мумба-Юмба
В племени Мумба-Юмба $N$ человек ($N\geqslant1$), каждый из которых ходит на охоту в лес. $i$-й соплеменник каждый день тратит на охоту долю $c_{i}$ своего времени ($0\leqslant c_{i}\leqslant 1$) и приносит $y_{i}$ условных единиц добычи, при этом его производственная функция задается формулой $y_{i}=\sqrt{c_{i}}$. Каждый вечер, после возвращения охотников из леса, все соплеменники собираются вокруг костра и съедают всю принесенную за день добычу (каждый — свою), танцуя ритуальные танцы. Исследование, проведенное антропологами, показало, что $i$-й член племени оценивает свое удовольствие от прожитого дня в $u_{i}$ единиц удовольствия, причем $u_{i}=x_{i}-c_{i}+R$, где $x_{i}$ — количество съеденной добычи, а $R$ — удовольствие от ритуальных танцев, которое всегда одинаковое и ни от чего не зависит. Каждый член племени стремится получить как можно больше удовольствия.
Подпункты
а)
Сколько добычи будет каждый соплеменник приносить из леса в день, сколько времени будет тратить на охоту и какое удовольствие получать?
б)
Выступая с новогодним обращением, вождь племени заявил, что отныне вся принесенная добыча будет складываться в одну кучу и затем делиться между всеми соплеменниками поровну. Изменится ли поведение членов племени в этих условиях? Ответьте на вопросы пункта а) и объясните получившиеся результаты.
Решение
а) Поскольку каждый соплеменник съедает всю принесенную им добычу, $x_{i} =y_{i} =\sqrt{c_{i} } $ для всех $i$. Поэтому каждый член племени, выбирая, сколько принести добычи, максимизирует функцию $$u_{i} =y_{i} -y_{i}^{2} +R.$$ Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение будет достигаться в вершине параболы: $$\begin{array}{c} {y_{i}^{*} =0,5;} \\ {c_{i}^{*} =0,25;} \\ {u_{i} =0,25+R,} \end{array}$$ то есть каждый соплеменник будет тратить на охоту четверть своего времени, приносить половину условной единицы добычи и получать удовольствие, равное $0,25+R$ единиц. б) Всякий раз при равномерном разделе добычи будет выполняться: $$x_{i} =\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} y_{j} }{N}.$$ Функция, которую максимизирует i -й член племени, имеет вид: $$u_{i} =x_{i} -c_{i} +R=\frac{y_{i} +\sum\limits_{j\ne i} y_{j} }{N} -y_{i}^{2} +R,$$ где $\sum _{j\ne i} y_{j} $ — количество добычи, принесенное всеми участниками, кроме i -го. Если воспринимать все переменные, на которые $i$-й участник не влияет, как константы, то данная функция также является квадратичной с максимумом в вершине параболы. Найдем оптимальные значения количества принесенной добычи и времени, проведенного в лесу: $$y_{i}^{*} =\frac{1}{2N} ;$$ $$ c_{i}^{*} =\frac{1}{4N^{2}} .$$ Оптимальное количество принесенной добычи и доля времени, потраченного на охоту, будут одинаковыми для всех участников. $$ {u_{i} =\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} y_{j}^{*} }{N} -c_{i} +R=\frac{y_{i}^{*} \cdot N}{N} -c_{i}^{*} +R=\frac{1}{2N} -\frac{1}{4N^{2} } +R.}$$ Нетрудно заметить, что результаты не отличаются от ответов пункта а) только при $N=1$ (действительно, если в племени только один человек, то нет никакой разницы, будет ли он просто съедать добычу или делить ее «поровну»), а при любом $N>1$ количество принесенной добычи, время, проведенное в лесу, и удовольствие, полученное каждым участником, уменьшится при введении дележа добычи , и будет тем меньше, чем больше людей в племени (последнее утверждение для значения функции удовольствия можно доказать, показав отрицательность ее производной по $N$ или разности ее значений при $N=k+1$ и $N=k$). Это происходит потому, что при дележе добычи у каждого участника появляется стимул работать меньше: ведь он понимает, что ему достанется только $1/N$ от того, что он принесет, а долю $\frac{N-1}{N} $ придется отдать соплеменникам. С другой стороны, думает он, б о льшая часть того, что он съест, будет зависеть не от его вклада в общую кучу, а от вклада других членов племени. Чем больше $N$ , тем б о льшую долю придется отдать другим и тем меньше он сам «почувствует» свой вклад (так, если в племени хотя бы 100 человек, то каждый соплеменник съест всего лишь 1/100 от того, что принесет сам, а 99/100 его собственного ужина составит то, что принесли другие!), то есть тем меньше добычи он захочет принести. От нежелания каждого работать в полную силу, вкладываясь в общественное благо, страдают все члены племени, при том что для каждого из них в отдельности такое его решение является рациональным.