Эффективная зарплата в Средиземье
В аграрном королевстве Рохан есть всего одно промышленное предприятие «Роханское серебро», которое добывает серебро и продаёт его за рубеж. Спрос на продукцию предприятия описывается зависимостью $q=400-2p$, где $q$ — количество серебра, которое добывает и продаёт «Роханское серебро» (в килограммах), $p$ — цена одного килограмма серебра (в роханских марках). Зависимость между количеством нанятых работников и выпуском «Роханского серебра» имеет вид $q=A\cdot L$, где $A$ — производительность труда одного работника, $L$ — количество работников. Владелец этого предприятия Грима Гнилоуст может нанять любое количество работников. Более того, работники согласятся работать у него за любую положительную ставку заработной платы, которую он сам назначит, так как живут они бедно и рады любой возможности заработать. Гриму не волнуют проблемы работников, он просто стремится максимизировать свою прибыль. Однако он заметил, что производительность труда работников положительно зависит от величины выплачиваемой им заработной платы: если работникам платить больше, то они лучше питаются, лучше одеваются, лучше заботятся о своём здоровье и в результате лучше работают. Эта зависимость может быть представлена формулой $$A=\begin{cases} 1-10/w, & \text{если } w>10,\\ 0, & \text{если } w\le 10, \end{cases}$$ где $w$ — заработная плата одного работника (в роханских марках).
Подпункты
а)
Сколько работников наймёт Грима и какую зарплату установит для каждого из них?
б)
Представим, что война, которая последние годы бушевала в окрестностях Рохана, наконец закончилась. Поэтому торговые партнёры Рохана меньше заинтересованы в закупках вооружений и могут позволить себе покупать больше серебра, из-за чего спрос на продукцию «Роханского серебра» существенно вырос. Как это скажется на заработной плате каждого из работников?
Решение
(а) Будем рассматривать случай, когда $w>10,$ так как, если заработная плата равна 10 маркам или ниже, то производительность труда каждого работника и, следовательно, выпуск фирмы будут равны нулю. В этом случае $A=1-10/w$ и, следовательно, $w=10/(1-A).$ Запишем прибыль фирмы следующим образом: $$PR=TR-TC=(200-0,5q)*q-AC*q$$ $AC$ — средние издержки фирмы, которые в нашем случае не зависят от объема выпуска: $$AC=TC/q=wL/q=wL/AL=w*1/A=10/(1-A)*1/A=10/(A-A^2 ).$$ Прибыль фирмы отрицательно зависит отAC, следовательно, фирма будет выбирать такое значение $A$, при котором величина $AC$ минимальна. Для этого нужно, чтобы стоящее в знаменателе выражение $A-A^2$ было максимально. Это парабола с ветвями направленными вверх, поэтому ее максимум будет достигаться в вершине: $A=0,5.$ Следовательно, минимальное значение $AC=40$ и достигается при $w=10/(1-A)=20.$ Таким образом, функция прибыли фирмы имеет вид: $$PR=(200-0,5q)*q-40*q=160q-〖0,5q〗^2$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз, следовательно, максимум прибыли достигается в ее вершине, то есть при q=160. Осталось выяснить количество нанимаемых работников: $q=A*L => 160=0,5*L => L=320$ (б) Заметим, что в начале решения этой задачи, выбирая оптимальную заработную плату, мы никак не использовали информацию о спросе. Таким образом, изменение спроса не повлияет на заработную плату (хотя и может повлиять на количество нанимаемых фирмой работников). Примечание: (а) $L=320$, $w=20$, (б) зарплата не изменится.