Задача 3 ОЧ-2018 10 класс
У некоторой фирмы есть два цеха, где производится один и тот же товар $X$. Фирма использует в производстве только труд, не несёт постоянных издержек и является совершенным конкурентом на рынке труда, заработная плата равна 1. Зависимость количества выпущенной продукции ($Q$) от количества нанятых рабочих ($L$, не обязательно целое число) в первом цехе описывается функцией $Q = \sqrt{2L}$. А во втором цехе: $$Q= \begin{cases}5 - \sqrt{25 - L}, & L \leq 25\\ 5, & L \geq 25 \end{cases}$$
Подпункты
а)
Пусть фирма является совершенным конкурентом на рынке товара $X$ и может использовать оба цеха. Выведите общие издержки фирмы в зависимости от количества произведённой продукции, функцию предложения фирмы. При каких значениях цены фирма будет использовать оба цеха?
б)
Предположим теперь, что фирма является монополистом на рынке товара $X$. Спрос задаётся уравнением $Q_d(p) = 30 - 3P$. При каком объёме производства прибыль фирмы максимальна? Какую прибыль получит фирма?
в)
Какой потолок цены должно установить государство, если оно желает, чтобы на рынке было продано как можно больше товара $X$? Сколько товара будет продано?
Решение
1. Для первого цеха $Q = \sqrt{2L} \Rightarrow L = \frac{Q^2}{2}$. Фирма не несет постоянных издержек и использует только труд $\Rightarrow TC = wL$. Поскольку $w = 1$, то $TC_1(q_1) = \frac{q_1^2}{2}$. Для второго цеха не имеет смысла нанимать более 25 рабочих, так как каждый следующий нанятый работник не увеличивает объем произведенной продукции. При $L \leq 25$ имеем $Q = 5 - \sqrt{25 - L} \Rightarrow L = 10Q - Q^2, \; Q\leq 5$. Тогда $TC_2(q_2) = 10q_2 - q_2^2, ~~q_2\leq 5$. Выведем функцию общих издержек. $q_1 + q_2 = Q \Rightarrow q_1 = Q - q_2$. $TC = TC_1 + TC_2$. Тогда $TC = \frac{1}{2}(Q - q_2)^2 + 10q_2 - q_2^2$. При этом должны соблюдаться оба ограничения $q_2 \in [0;5]$ и $q_2 \in [0;Q]$ или же $\begin{cases} q_2 \in [0;5],\\ q_2 \in [0;Q]\end{cases}$ Проминимизируем получившуюся функцию при условии данного ограничения. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями вниз, с вершиной $q_2 = 10 - Q$. Иными словами, в точке $q_2 = 10 - Q$ достигается максимум издержек. Необходимо рассмотреть несколько случаев. 1 случай $Q \in [0;5] \Rightarrow q_2 \in [0;Q]$. $(10 - Q) \geq 5$, то есть вершина параболы выходит за допустимую область для $q_2$. Поскольку функция издержек возрастает по $q_2$ от нуля вплоть до вершины, то минимальное значение она принимает при $q_2 = 0$. То есть при $Q \in [0;5] TC(Q) = \frac{Q^2}{2}$ Графическая иллюстрация: 2 случай $Q \in [5;10] \Rightarrow q_2 \in [0;5]$. $(10 - Q) \in [0;5]$, то есть вершина параболы входит в допустимую область для $q_2$. Поскольку функция издержек возрастает по $q_2$ от нуля до вершины, а затем убывает до $q_2 = 5$ то минимальное значение она принимает либо при $q_2 = 0$, либо при $q_2 = 5$, то есть на концах отрезка. Иными словами, необходимо сравнить издержки при $q_2 = 0 \Rightarrow q_1 = Q$ и при $q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5$. Графическая иллюстрация: $q_2 = 0 \Rightarrow TC(Q) = \frac{Q^2}{2}$, ~$q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5 \Rightarrow TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2$. Сравнив данные функции, получим: $$TC(Q) = \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [5; ~7,5]\\ 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \in [7,5;~ 10] \end{cases}$$ 3 случай $Q \geq 10 \Rightarrow q_2 \in [0;5]$. При данных значениях $Q$ вершина параболы $(10-Q)$ меньше 0, следовательно функция издержек убывает по $q_2$ при всех допустимых значениях $q_2$, то есть минимум достигается при $q_2 = 5$. Таким образом, $TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2$ при $Q \geq 10$. Итого: $$TC(Q)= \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; ~7,5]\\ 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \geq 7,5 \end{cases}$$ В таком случае $$MC(Q)= \begin{cases} Q, & Q \in [0; ~7,5]\\ Q-5, & Q \geq 7,5 \end{cases}$$ Предложение фирмы можно найти графически: К аналогичному результату можно прийти сравнивая прибыли на разных участках в зависимости от цены: $PR_1(p) = \frac{p^2}{2}$, ~ $PR_2(p) = p(p+5) - 25 - \frac{p^2}{2} = \frac{p^2}{2} + 5(p-5)$. При $p=5$ фирме безразлично, на каком участке находиться (производить $Q=5$ или $Q=10$). Предложение фирмы в таком случае: $$Q_s(P)= \begin{cases} P, & P \in [0; ~5]\\ P+5, & P \geq 5 \end{cases}$$ Фирма использует оба цеха при $P \geq 5$. 2. $P_d = 10 - \frac{Q}{3}$, выручка монополиста $TR = 10Q - \frac{Q^2}{3}$. В таком случае прибыль запишется в виде: $$PR(Q)= \begin{cases} 10Q - \frac{Q^2}{3} - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; ~7,5]\\ 10Q - \frac{Q^2}{3} - 25 - \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \geq 7,5 \end{cases}$$ Максимизируя получившееся выражение на соответствующих участках получим точки $Q = 6$ на первом и $Q = 9$. Сравнивая значения прибыли при данных объемах, получим, что $PR(6) = PR(9) = 30$. Таким образом, $PR_{max} = 30$ достигается при $Q = 6$ или $Q = 9$. 3. При $Q=6$ $P=8$, а при $Q = 9$ $P = 7$. Очевидно, что при потолке цены выше 7, максимальный объем проданного товара фирмой-монополистом равен 9 (т.к. при $P = 7$ фирма получает максимальную прибыль). По мере уменьшения потолка цены вплоть до пересечения с графиком $MC$, изменяется график предельной выручки монополиста (график предельной выручки обозначен красным цветом): При данном значении потолка цены ($P_{max} = 6,25$) максимальная прибыль для фирмы-монополиста достигается при $Q=11,25$, что следует из сравнения площадей под графиками предельных издержек и предельной выручки. Несложно заметить, что данное значение выпуска является максимальным. К данному результату можно было прийти аналитически, сравнивая прибыли при всех возможных значениях потолка цены. Откуда следует зависимость оптимального объема выпуска от потолка цены: $$Q^{*}(P_{max})= \begin{cases} 30 -3P_{max}, & P_{max} \in [6,25;~7]\\ P_{max} + 5, & P_{max} \in [5;~6,25]\\ P_{max}, & P_{max} \in [0;~5] \end{cases}$$ Таким образом, государство должно установить потолок цены $P_{max} = 6,25$. Будет продано $Q=11,25$