Максимальный профицит
В стране Альфа производится и потребляется всего два товара — X и Y. В 2018 году объём производства товара X составлял 100 единиц при цене 50 рублей за единицу, а объём производства товара Y был равен 110 единицам при цене 100 рублей за единицу. В 2019 году функции спроса на товар X и его предложения имеют вид $x_d = 400-2p_x$ и $x_s = 2p_x$. Функции спроса на товар Y и его предложения, в свою очередь, заданы уравнениями $y_d = 200-2p_y$ и $y_s = 2p_y$. В 2019 году правительство планирует установить потоварный налог, взимаемый с производителей товара X. Других источников доходов, кроме поступлений в казну от этого налога, у государственного бюджета нет. Также правительство собирается ввести потоварную субсидию, выплачиваемую производителям товара Y. Все расходы государственного бюджета, кроме выплаты данной субсидии, фиксированы и составляют 1000 рублей в год. Определите, какого максимального профицита бюджета может достичь правительство в 2019 году в рамках указанной политики при условии, что реальный ВВП страны Альфа в 2019 году по сравнению с 2018 годом должен вырасти на 25 %? При определении реального ВВП считайте 2018 год базовым. Из каких соображений, помимо упомянутых в условии задачи, может исходить правительство при определении величины дефицита/профицита государственного бюджета?
Решение
При введении потоварного налога на рынке товара Х равновесие будет определяться системой уравнений $400 - 2p_x^d = 2p_x^s$ и $p_x^d - p_x^s = t$. Далее находим равновесный выпуск $x = 200-t$. Налоговые поступления составят $T = tx = 200t-t^2$. При введении потоварной субсидии на рынке товара Y равновесие будет определяться системой уравнений $200 - 2p_y^d = 2p_y^s$ и $p_y^s - p_y^d = s$. Далее находим равновесный выпуск $y = 100+s$. Расходы на субсидирование составят $S = sy = 100s+s^2$. Реальный ВВП 2018 года равен $GDP^{18}_{real} = 100\cdot 50 + 110\cdot 100 = 16000$. Реальный ВВП 2019 года будет равен $GDP^{19}_{real} = (200-t)50 + (100+s)100 = 20000 - 50t + 100s$. По условию рост реального ВВП должен составить 25%, тогда $20000 - 50t + 100s = 1.25 \cdot 16000$. Упростив последнее уравнение, получим $t = 2s$. Тогда сальдо бюджета будет равно $$T-S-1000 = 200t - t^2 - 100s-s^2-1000 = 300s-5s^2 -1000 \rightarrow \max{s\geqslant 0}.$$ Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $s = 30$, тогда сама величина профицита бюджета составит 3500. Например, увеличение общественного благосостояния за счёт производства общественных благ или стабилизационная политика.