Белоснежка и чиновник
В Тридевятом королевстве единственным поставщиком белой глины является фирма «Белоснежка, Inc.», а единственным потребителем — государственный spa-курорт. Чиновник Плутов еженедельно забирает у Белоснежки 500 кг глины для курорта, а взамен позволяет ей вести нелегальную добычу золотого песка. Золотой песок у Белоснежки покупает сам чиновник Плутов, причем по цене $W$ руб. за грамм он обещал купить любое количество песка, которое добудет фирма Белоснежки. Белоснежка добывает глину и песок с помощью рабочих. У нее уже заключен контракт с бригадой гномов, которые могут добыть не более 600 граммов золотого песка в неделю и альтернативная стоимость производства грамма песка для которых всегда равна 5/3 кг глины. Труд гномов стоит 2 000 руб. в неделю, но в случае расторжения контракта Белоснежка должна была бы платить им неустойку в размере 1 700 руб. в неделю. «Белоснежка, Inc.» также может заключить контракт с бригадой эльфов, которые могут добывать не более 750 граммов золотого песка в неделю и альтернативная стоимость грамма песка для которых всегда равна 2 кг глины. Труд эльфов стоит 3 200 руб. в неделю.
Подпункты
а)
(3 балла) Предположим, Белоснежка может нанять только одну из двух бригад или отказаться от сотрудничества с Плутовым. Найдите все значения $W$ (или докажите, что их нет), при которых Белоснежка откажется от услуг гномов, если она максимизирует прибыль.
б)
(5 баллов) Предположим, что теперь Белоснежка может нанимать любое количество бригад (0, 1 или 2). Определите, при каких значениях $W$ какие бригады будут наняты.
в)
(7 баллов) Плутов продает купленный у Белоснежки золотой песок на монопольном рынке с функцией спроса $Q = 1 000 - P$ и максимизирует свою прибыль. Он может выбрать, в какие условия поставить Белоснежку (запретить нанимать больше одной бригады или разрешить) и назначить ей любое значение $W$. Сколько песка он продаст? Считайте, что он соблюдает свое обещание купить столько песка, сколько Белоснежка захочет продать по цене $W$, а если Белоснежке безразлично, сколько продавать по цене $W$, она продает наибольшее количество.
Решение
а) (3 балла) Используя данные о максимально возможном производстве песка и альтернативной стоимости глины, можно посчитать, что производство необходимых 500 кг глины будет стоить гномам 300 г песка, а эльфам — 250 г песка. Значит, гномы смогут произвести 300 г песка, а эльфы смогут произвести 500 г песка (1 балл). Если Белоснежка продолжит работать с гномами, она получит $\pi _g=300W-2000$. Если же заключить контракт с эльфами (и платить гномам неустойку), то прибыль составит $\pi _e=500W-3200-1700=500W-4900$. Если вообще не добывать песок, то нужно только платить неустойку 1700. Белоснежка откажется от услуг гномов в двух случаях: Гномы хуже, чем эльфы. Тогда $500W-4900>300W-2000$ и $W>14{,}5$. (1 балл) Гномы хуже, чем ничего. Тогда $-1700>300W-2000$ и $W<1$. (1 балл) Ответ: $W<1$ (вообще не работает) или $W>14{,}5$ (нанимает эльфов) б) (5 баллов) Если Белоснежка наймет обе бригады, то глину должны производить эльфы: для них это производство в единицах песка стоит дешевле (1 балл). При этом они произведут еще 500 г песка, гномы произведут все 600 г песка, всего будет 1100 г. Прибыль составит $\pi _{ge}=1100W-3200-2000=1100W-5200$. Можно определить следующие интервалы: $W < 1$. В этом случае прибыль при любом из трех вариантов производства песка меньше, чем -1700, так что нанимать никого не следует. Во всех остальных случаях по крайней мере один вариант лучше этого — нанимать гномов. (1 балл) $1 < W < 4$. При таких $W$, как уже было показано выше, нанимать только гномов лучше, чем только эльфов (1 балл). Можно убедиться, что при таких $W$ выполнено неравенство $\pi _q>\pi _{ge}$, то есть нанимать только гномов также выгоднее, чем гномов и эльфов. (1 балл) При $W > 4$, последнее неравенство выполнено в другую сторону, так что нанимать две бригады выгоднее, чем только гномов. Можно убедиться, что нанимать две бригады также выгоднее, чем только эльфов. (1 балл) Ответ: при никто не нанят, при — гномы, при – обе бригады, в пограничных ситуациях безразлично. За отнесение пограничных ситуаций к любому из соседних вариантов в пунктах а) и б) не штрафуем. Если пограничные ситуации вообще никуда не относятся, штрафуем на 1 балл. в) (7 баллов) Из результатов пункта а) можно вывести кривую предложения Белоснежки, если можно нанимать только одну бригаду. Аналогичная функция для любого числа бригад выводится из пункта б): $$ q=\begin{cases} 0, &\text{ если } W<1,\\ 300, &\text{ если } 1 500, &\text{ если } 14{,}5 \end{cases} $$ $$ q=\begin{cases} 0, &\text{ если } W<1,\\ 300, &\text{ если } 1 1100, &\text{ если } 4 \end{cases} $$ В этих двух функциях отнесение пограничных точек к правым интервалам важно. Если чиновник купил у Белоснежки больше 500 г песка, то ему нужно продать ровно 500 г, так как там выручка максимальна (1 балл). Ему никогда нет смысла назначать W, которые не являются «пограничными», так как в этом случае можно будет чуть-чуть сократить W и тем самым сократить издержки, не уменьшая количество купленного песка (1 балл). Сколько бригад можно нанять Условия пункта а) Условия пункта б) Значение W 1 14.5 1 4 Куплено у Белоснежки 300 500 300 1100 Издержки чиновника 300 500*14.5 300 1100*4 Продано на рынок 300 500 300 500 Выручка чиновника 300*700 500*500 300*700 500*500 (1) (2) (3) (4) Составление каждого варианта — 1 балл. Видно, что варианты (1) и (3) одинаковы с точки зрения прибыли, а вариант (4) лучше варианта (2) (выручка одинаковая, издержки меньше). Прибыль варианта (4) нетрудно посчитать: (500 * 500 – 1100 * 4) = 245 600, это больше, чем даже выручка вариантов (1) и (3) (она равна 210 000). Следовательно, чиновник выберет вариант (4): назначит $W = 4$, купит у Белоснежки 1100 г песка, продаст 500 г из них по цене 500. Сравнение вариантов — 1 балл.