Хитрые издержки

Постоянные издержки, по определению, не зависят от выпуска и равны $TC(0)$. $FC=TC(0)=20.$ Искомая цена равна $\min AVC.$ (Почему?) Восстановим функцию $AVC(Q).$ Для этого нам как раз пригодится найденное значение постоянных издержек. $$VC(Q)=TC(Q)-FC =\begin{cases}\frac{Q^2}{5}+10Q,\text{ если $Q\le8$;} \\ \frac{Q^2}{5}+80,\text{ если $Q>8$.}\end{cases}$$ Значит, $$AVC(Q) =\begin{cases}\frac{Q}{5}+10,\text{ если $Q\le8$;} \\ \frac{Q}{5}+\frac{80}{Q},\text{ если $Q>8$.}\end{cases}$$ При $Q\le 8$данная функция линейна, монотонно возрастает и стремится к 10 при стремлении выпуска к нулю. При $Q\ge 8$исследуем нашу функцию с помощью производной: $AVC^{'}(Q)=\frac{1}{5}-\frac{80}{Q^2}=0\Rightarrow Q=20$ - критическая точка нашей функции. Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, эта точка является точкой локального минимума. $AVC(20)=8,$ что меньше 10. Значит, $Q=20$ является также и точкой глобального минимума данной функции; $\min AVC=8,$ что и соответствует искомому значению цены. 1-й способ иллюстрации. График функции $AVC(Q)$будет иметь вид 2-й способ иллюстрации. График предельных издержек $MC(Q)$будет иметь вид (выделен красным): Ответ: см. выше Примечание: Задачу можно было решить и по-другому – используя функцию предельных, а не средних переменных издержек. Для этого можно было заметить, что искомая цена должна быть проведена так, чтобы площади $S_1$и $S_2$на рисунке были равны. Причину этого замечательного факта вам поможет понять первая задача Всероса 2008 года. При решении задачи можно было обойтись и без производной; правда, для этого потребовалась бы некая необычная смекалка. Нам на определенном этапе нужно найти минимальное значение выражения $$AVC(Q)=\frac{Q}{5}+\frac{80}{Q}.$$ Заметим, что для любых двух неотрицательных чисел $a$и $b$верно следующее неравенство (неравенство Коши, неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом): $$a+b\ge2\sqrt{ab}.$$ Подставим вместо $a$величину $\frac{Q}{5},$ а вместо $b$ – величину $\frac{80}{Q}$; получим $$\frac{Q}{5}+\frac{80}{Q}\ge2\sqrt{\frac{Q}{5}\frac{80}{Q}}=2\sqrt{16}=8.$$ Таким образом, мы получили, что $AVC(Q)=\frac{Q}{5}+\frac{80}{Q}\ge 8.$ При этом нижняя граница в данном неравенстве действительно достигается (при $Q,$ подобранном так, чтобы $a$и $b$были равны, то есть при $Q = 20$). Отсюда и следует, что 8 – истинный минимум функции средних переменных издержек, который нам надо найти.